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標題: 101家齊女中 [打印本頁]

作者: basess8 時間: 2012-5-27 20:00 標題: 101家齊女中

這是考試記下的，不是學校公布的，有錯請指正。多謝
，下載過的網友請重新下載一次，檔案有小錯已修正

101.5.28版主補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 58分
取18名參加複試，正式1名，代理2名
72,70,68,67,67,66,64,63,62,62,61,60,59,59,58,58,58,58

其他，
50~57分 21人
40~49分 34人
30~39分 65人
20~29分 38人
10~19分 11人
0~9分 5人
缺考 6人

共計 198 人

101.5.29版主補充
學校已公布試題，請參閱附件

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-5-29 10:46 AM 編輯 ]

附件: 101年家齊女中.pdf (2012-5-27 20:55, 89.9 KB) / 該附件被下載次數 10361
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1151&k=bd55ef6aed78ff7a24ed394ecb72885b&t=1714288423

附件: 101家齊女中初試成績.rar (2012-5-28 19:11, 151.42 KB) / 該附件被下載次數 8902
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1156&k=29bbfcce869e1764cde24b52afc51302&t=1714288423

附件: 101家齊女中(官方版).pdf (2012-5-29 10:46, 241.73 KB) / 該附件被下載次數 10073
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1162&k=7204060992ff0235d8a604431f60904e&t=1714288423

作者: Ellipse 時間: 2012-5-27 20:41

引用:

原帖由 basess8 於 2012-5-27 08:00 PM 發表
這是考試記下的，不是學校公布的，有錯請指正。多謝

填充5
[1^3/2]+[2^3/3]+[3^3/4]+....................+[100^3/101]
=[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
=[1^2-1*1+1^2]+[2^2-2*1+1^2]+[3^2-3*1+1^2]+.................+[100^2-100*1+1^2]-100
=(1^2+2^2+3^2+.........+100^2)-(1+2+3+..........100)+100-100
=100*101*201/6 - 100*101/2
=338350-5050
=333300

填充6
k=62或65

計算2
(x,y)=( {1+3^(1/5) }/2 ,{1-3^(1/5) } /2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-27 10:35 PM 編輯 ]

作者: zeratulok 時間: 2012-5-27 21:11 標題: 請問一下這題怎麼算 QQ

將相同的20 顆紅球，20 黑球，20 顆白球，各自分成30 顆球的兩堆，分法有幾種?

當場想到的方法是用排列的，不過應該不可以，所以就沒算了....

後來朋友有說設x、y、30-(x+y)下去討論....

不知道是不是這樣的方法?感謝各位!

作者: tsusy 時間: 2012-5-27 21:27 標題: 回復 3# zeratulok 的帖子

之前有人問過小弟一模一樣的題目

先把兩堆當作不一樣，考慮第一堆三種球數 \( x,\, y,\, z \)

則 \( x+y+z=30 \) 且 \( 0 \leq x, \, y, \, z \leq 20 \)

故有 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_9 = 331 \)

但是實際上是二堆，所以以上會有重覆計算的可能，

哪些會是重覆計算的呢？例如 \( (5,6,19), (15,14,1) \) 和 \((15,14,1), (5,6,19) \) 其實就是一樣的

唯一沒被算兩次的只有 \( (10,10,10), (10,10,10) \)

所以答案即為 \( \frac{331-1}{2} +1 =166 \)

作者: Ellipse 時間: 2012-5-27 21:42

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-27 09:27 PM 發表
之前有人問過小弟一模一樣的題目

先把兩堆當作不一樣，考慮第一堆三種球數 \( x,\, y,\, z \)

則 \( x+y+z=30 \) 且 \( 0 \leq x, \, y, \, z \leq 20 \)

故有 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_9 = 331 \)

但是實際上是 ...

寸絲這題解得很漂亮喔~~

作者: tsusy 時間: 2012-5-27 22:01 標題: 回復 5# Ellipse 的帖子

其實要歸功於問問題的人

前面的想法都是對方想出來了的，小弟只是負責修正想法而已

不過有時候靈感來的，就是一件很妙的事，

找個人問問聊聊，也會冒出一些奇怪的想法~哈~~

作者: zeratulok 時間: 2012-5-27 22:11 標題: 回復 4# tsusy 的帖子

感謝寸絲大，讓我慢慢咀嚼一下囧

作者: mathblue 時間: 2012-5-27 23:14 標題: 回復 1# basess8 的帖子

計算第二題:
兩式相加整理得:\(x^5+10x^3y^2+5xy^4=2\)----(1)
兩式相減整理得:\(5x^4y+10x^2y^3+y^5=-1\)---(2)
(1)+(2): \((x+y)^5=1\)
(1)-(2):\((x-y)^5=3\)
因此，可得\(x=\frac{1+3^{1/5}}2\)與\(y=\frac{1-3^{1/5}}2\)

作者: hua0127 時間: 2012-5-27 23:35

計算第一題:
算出det(A)=0, det(B)=-21 不為0
故A不可逆，B可逆，
故若存在方陣Y使得BY=0 的話，兩邊同乘以 B^-1 ，得到 Y=0
所以不存在非零方陣Y使得 BY=0
(線代的觀念裡面矩陣 A 可逆的充要條件有一條是 AX=b中有唯一解，或是AX=0 只有零解
雖說定理的 X,b 是向量，但是觀念依樣)

因為A不可逆，所以AX=0 的解應不唯一，取方陣 X 使得X 的每一行元素依序為 -1 2 -3 ，則 AX=0

作者: hua0127 時間: 2012-5-27 23:40

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-27 08:41 PM 發表

填充5
[1^3/2]+[2^3/3]+[3^3/4]+....................+[100^3/101]
=[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
=[1^2-1*1+1^2]+[2^2-2*1+1^2]+[3^2-3*1+1^2]+....... ...

填充5這做法真漂亮，怎麼樣想才能想到要把它補成整數 ?
每每遇到高斯的題目幾乎都有不知如何下手的感覺，
用不等式夾了老半天，顯然失敗囧.....

作者: hua0127 時間: 2012-5-28 00:36

計算第三題:
(1) P1=2/7, P2=12/49
(2) 令前n 次的和為 4k+1的 "情形" 有 a(n) 種， 4k+2 有 b(n) 種，4k+3 有 c(n) 種, 4k 有 d(n) 種
則 a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=7^n, 又觀察知 a(n+1) = a(n) + 2b(n) +2c(n) +2d(n) =a(n) + 2(7^n -a(n))
兩邊同除以 7^(n+1), 得到 P(n+1)= -1/7 P(n) +2/7
(3) 解出 P(n)=(1/4)+(1/28)(-1/7)^(n-1)

有錯誤煩請指正

作者: 阿光 時間: 2012-5-28 09:55

想請教填充第9,10題和計算第4題,謝謝

作者: hua0127 時間: 2012-5-28 12:50

計算第4題：
試求有多少個相異的多項式\( f(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7 \)同時滿足下列2個條件：
(1)\( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \)為集合\( \{\; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \)中七個相異元素。
(2)\( f(x) \)可被\( x^3+x^2+x+1 \)整除。

我是用討論作，不知道有沒有妙招，也請大家幫小弟驗算一下，
首先觀察x^3+x^2+x+1=0的三虛根令為w, w^2, w^3,
又f(w)=0, 代入降次之後得到關係式 1+a4=a1+a5=a2+a6=a3+a7
（f(w^2)=0, f(w^3)=0 取交集後亦為此關係式）
再針對a4的值作討論：
(1)  若a4=10, 則 a1+a5=a2+a6=a3+a7=11,  所以(a1,a5), (a2,a6), (a3,a7)
   可能的情況為 (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) , 此情形有 4*3*2*2^3=192
(2)  若a4=9, 可能的情況為 (2,8), (3,7), (4,6),  有 3*2*1*2^3=48
(3)  若a4=8, 可能的情況為 (2,7), (3,6), (4,5),  有 3*2*1*2^3=48
a4=7,6, 5,4,3,2,1 均無解
故所求共 288 組

觀念如有錯也煩請指正。
感謝 zeratulok 兄的提醒，多算的部分已修正。

104.4.12補充
設多項式\( f(x)=x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \)，其中\( a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \)是集合\( \{\; 1,2,3,4,\ldots,10 \}\; \)中的七個相異元素，若\( x^3+x^2+x+1 \)是多項式\( f(x) \)的因式，試問有　　　個滿足條件的多項式\( f(x) \)。
(104台中女中，https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html)

作者: wayloon 時間: 2012-5-28 13:48

提供填充5的解法，
其實和橢圓老師的解法很像。

圖片附件: 1.png (2012-5-28 13:48, 23.99 KB) / 該附件被下載次數 5815
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1152&k=81dbeff897d66313f5b494f4e2986c3c&t=1714288423

作者: zeratulok 時間: 2012-5-28 15:57 標題: 回復 13# hua0127 的帖子

好像有點問題....
a4=9的時候應該只剩下(2,8)、(3,7)、(4,6)三組可以湊出10..
所以應該是3!*2^3
a4=8，剩下(2,7)、(3,6)、(4,5)
所以也是3!*2^3
a4=7，就可能是(2,6)、(3,5)而已，所以不可能了，以下都不行
還是我理解錯誤囧
感謝指教!

作者: hua0127 時間: 2012-5-28 17:35

引用:

原帖由 zeratulok 於 2012-5-28 03:57 PM 發表
好像有點問題....
a4=9的時候應該只剩下(2,8)、(3,7)、(4,6)三組可以湊出10..
所以應該是3!*2^3
a4=8，剩下(2,7)、(3,6)、(4,5)
所以也是3!*2^3
a4=7，就可能是(2,6)、(3,5)而已，所以不可能了，以下都不行
還是我理解錯誤 ...

你說的沒錯，的確是我眼殘沒發現，多謝指教，待會馬上修正。

作者: sweeta 時間: 2012-5-28 19:53 標題: 填充五

填充五提供另一種解法

我是列出前幾項之後　發現相鄰兩項的差會成為等差數列

也就是階差

整理可得　a_n = 2 [ 1+2+...+(n-1) ] = n * (n-1 )

所以可求得從第一項加到第一百項的和為 333300

ps. 這次沒考好 , 嘆~

作者: bugmens 時間: 2012-5-28 19:57

10.
雙曲線的中心點在原點，兩個焦點皆在x軸上，有一條斜率為\( \displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}} \)的直線通過右焦點並且交雙曲線於P,Q兩點，已知\( \overline{OP} \)垂直於\( \overline{OQ} \)且\( \overline{PQ}=4 \)，求雙曲線方程式

104.4.13補充
104台中女中也考了這題。https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html

雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為\( \sqrt{\frac{3}{5}} \)的直線交雙曲線於P,Q兩點，若\( \overline{OP}⊥\overline{OQ} \)，\( |PQ |=4 \)。求雙曲線的方程？
(奧數教程　高二　第23講　曲線系)

計算2.
x,y皆為實數，滿足\( \displaystyle \cases{\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=2(y^4-x^4) \cr \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)} \)，求\( (x,y) \)
William Lowell Putnam Mathematical Competition 2001
94高中數學能力競賽　台北市試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514
97中一中，https://math.pro/db/thread-1344-1-1.html

圖片附件: 奧數教程高二第23講曲線系.gif (2012-5-28 19:57, 54.12 KB) / 該附件被下載次數 6070
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1157&k=3ae9a4e105ba94708dbb4213e6da1d47&t=1714288423

作者: natureling 時間: 2012-5-29 01:13

想請教填充6..第二個k=65 如何解出...@@.
我令F(x)=f(x)-124=(x-1)(x-2)(x-k)...
假設x=m為F(x)=0的第3個實根，則
F(m)=0=m^3-(3+k)*m^2+(2+3k)*m+(124-2k)=0
則 m^3-3*m^2+2^m+124=k*m^2-3*k*m+2*k
則m=0 則124=2k , k=62
還是此題不是如此解法>"<...感謝!!

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-27 08:41 PM 發表

填充5
[1^3/2]+[2^3/3]+[3^3/4]+....................+[100^3/101]
=[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
=[1^2-1*1+1^2]+[2^2-2*1+1^2]+[3^2-3*1+1^2]+....... ...

作者: zeratulok 時間: 2012-5-29 07:44 標題: 回復 19# natureling 的帖子

這一題我的想法很簡單
因為是整數解，所以整數帶入後，前面三個括號相乘要等於-124
124＝2*2*31＝2*62
但因為第一跟第二的括號出來的結果相差1，所以一定就是1*2或（-1）*（-2）
x=3 or 0 這樣下去算 k ＝ 62 or 65...

作者: 阿光 時間: 2012-5-29 12:24

想請教填充第8,9題,謝謝

作者: zeratulok 時間: 2012-5-29 13:53

引用:

原帖由阿光於 2012-5-29 12:24 PM 發表
想請教填充第8,9題,謝謝

第八題:

2根號3 * sin(p+q) 其中p為正四面體兩面角 cosp=1/3，q為提高的角度cosq=根號(2/3)
=2根號3*(sinp cosq+cosp sinq)=10/3

第九題:

將1~30分組
正: 1、6、7、10、11、12、13、15、17、18、19、20、23、24、29
負: 2、3、4、5、8、9、14、16、21、22、25、26、27、28、30
剛好各15個!
所以1~30、31~60、......、151~180 六組的合應該要一樣都是 -15 => -90
剩下的181~200 比照 1~20 辦理，但正負數量不一樣!正有12個，負有8個，所以最後還要加上180*4
1~20 為 88
所求= -90+88+720 =718

作者: peter579 時間: 2012-5-30 20:52

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-27 09:27 PM 發表
之前有人問過小弟一模一樣的題目

先把兩堆當作不一樣，考慮第一堆三種球數 \( x,\, y,\, z \)

則 \( x+y+z=30 \) 且 \( 0 \leq x, \, y, \, z \leq 20 \)

故有 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_9 = 331 \)

但是實際上是 ...

第七題
可以問更清楚一些嗎…為何是 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_9 = 331 \)
而不是 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_{10} = … \)

不是超過20個都是不行的嗎…21~30不是有十個…。

[ 本帖最後由 peter579 於 2012-5-30 08:53 PM 編輯 ]

作者: dav 時間: 2012-5-30 21:31

引用:

原帖由 peter579 於 2012-5-30 08:52 PM 發表

第七題
可以問更清楚一些嗎…為何是 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_9 = 331 \)
而不是 \( H^3_{30} - 3 \cdot H^3_{10} = … \)

不是超過20個都是不行的嗎…21~30不是有十個…。 ...

21+ 0~9有10個(都是不行的, 要扣掉的, 從0開始才能用H) 冏
三個顏色取一個強迫讓他爆..就塞他21個...穩爆..(要扣掉)
一個顏色塞20個給他...不能從0開始(因為合題意) 就不能用H了

[ 本帖最後由 dav 於 2012-5-30 09:36 PM 編輯 ]

作者: march2001kimo 時間: 2012-6-5 15:32

引用:

原帖由 zeratulok 於 2012-5-29 01:53 PM 發表

第八題:

2根號3 * sin(p+q) 其中p為正四面體兩面角 cosp=1/3，q為提高的角度cosq=根號(2/3)
=2根號3*(sinp cosq+cosp sinq)=10/3

第九題:

將1~30分組
正: 1、6、7、10、11、12、13、15、17、18、19、20、 ...

抱歉~~小弟有點鈍~~
後面的180*4是代表啥

作者: dav 時間: 2012-6-5 15:38

引用:

原帖由 march2001kimo 於 2012-6-5 03:32 PM 發表

抱歉~~小弟有點鈍~~
後面的180*4是代表啥

因為正的有12個..負的有8個....
正負個數不平衡...
180+1, 180+2, ..., 180+20
以上有12個+180 和 8個-180
所以後面要補4個+180

[ 本帖最後由 dav 於 2012-6-6 09:56 AM 編輯 ]

作者: march2001kimo 時間: 2012-6-5 23:04

引用:

原帖由 dav 於 2012-6-5 03:38 PM 發表

因為正的有12個..負的有8個....
正負個數不平衡...
180+0, 180+1, 180+2, ..., 180+20
以上有12個+180 和 8個-180
所以後面要補4個+180

感恩~~懂了~~

作者: kittyyaya 時間: 2013-5-9 17:16

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-27 08:41 PM 發表

填充5
[1^3/2]+[2^3/3]+[3^3/4]+....................+[100^3/101]
=[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
=[1^2-1*1+1^2]+[2^2-2*1+1^2]+[3^2-3*1+1^2]+....... ...

[(1^3+1^3)/2]+[(2^3+1^3)/3]+[(3^3+1^3)/4]+....................+[(100^3+1^3)/101]-100
想請問老師們紅色減100 是因為"1^3/2+1^3/3+1^3/4+....................+1^3/101 =100" 為什麼呢 ?
勞煩老師們了

作者: tsusy 時間: 2013-5-9 18:09 標題: 回復 29# kittyyaya 的帖子

當然不是，而且很明顯這個式子不是 100 吧，有 100 項，而且每一項都比 1 小，和怎麼可能是 100 呢！？

\( \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{(n+1)} = \frac{1182248763312705558524238086612268061991611}{281670315928038407744716588098661706369472} \approx 4.197 \)

至於等號為什麼，應該再自己好好想想

作者: kittyyaya 時間: 2013-5-9 23:53

引用:

原帖由 tsusy 於 2013-5-9 06:09 PM 發表
當然不是，而且很明顯這個式子不是 100 吧，有 100 項，而且每一項都比 1 小，和怎麼可能是 100 呢！？

\( \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{(n+1)} =\) ...

謝謝寸絲老師
我想通了因為分子多加1會讓取高斯後的整數都恰多1 , 所以 , 必需減掉100個1 ,
這題我想了多天 , 剛剛突然試著將前面三項除除看 , 發現剛好整除, 於是乎 , 試最後一項 , 也剛好整除 , 再次謝謝

[ 本帖最後由 kittyyaya 於 2013-5-10 12:27 AM 編輯 ]

作者: lyingheart 時間: 2013-5-10 21:49 標題: 回復 31# kittyyaya 的帖子

用一下長除法
\(\displaystyle \frac{n^3}{n+1}=n^2-n+1-\frac{1}{n+1} \)

所以\(\displaystyle [\frac{n^3}{n+1}]=n^2-n \)

作者: 阿吉 時間: 2013-6-22 14:10 標題: 回復 13# hua0127 的帖子

前半部我會這樣想：
考慮f(x)除以x^4-1 [看到x^3+x^2+x+1很自然會想到x^4-1]
所得餘式為(a_4+1)x^3+(a_1+a_5)x^2+(a_2+a_6)x+(a_3+a_7)
因為f(x)被x^3+x^2+x+1整除
所以a_4+1=a_1+a_5=a_2+a_6=a_3+a_7

--
請多指教<(_ _)>

作者: peter0210 時間: 2014-10-5 16:15

填充九
全部-2*(2的倍數之和+3的倍數之和+5的倍數之和)+4*(6的倍數之和+10的倍數之和+15的倍數之和)-8*(30的倍數之和)

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