2.
已知巴斯卡定理\(C_k^n+C_{k-1}^n=C_k^{n+1}\)
(1)證明\(C_2^2+C_2^3+C_2^4+\ldots+C_2^n=C_3^{n+1}\)。
(2)利用(1)推導出\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
[解答]

(2)
\(\displaystyle \frac{2\cdot 1}{2}+\frac{3\cdot 2}{2}+\frac{4\cdot 3}{2}+\ldots+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{(n+1)n(n-1)}{6}\)
\(\displaystyle (2^2-2)+(3^2-3)+(4^2-4)+\ldots+(n^2-n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle (2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2)-(2+3+4+\ldots+n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle (1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2)-(1+2+3+4+\ldots+n)=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}\)
\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2=\frac{(n+1)n(n-1)}{3}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

6.
在\(\Delta ABC\)中，其內角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對應的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=4cosC\)，求\(tanC(cotA+cotB)\)的值。

\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2+\overline{AC}^2=6\overline{AB}^2\)，則\(\displaystyle \left(\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}\right)tanC=\)　　　。
(108高中數學能力競賽北二區筆試二試題)

110.6.16補充
感謝satsuki931000告知
\(\displaystyle \frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}=tanC=\)修正為\(\displaystyle
\left( \frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanB}\right)tanC=\)

引用:

原帖由 chen3553 於 2021-5-8 18:12 發表
努力拼湊出的題目樣貌
大概因為大部分都是證明題就乾脆不公布......

想順道請問第3題該如何證明

由二項式定理得
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+C(n,2)*x²+...............+C(n,n)*x^n-----------------------(1)
再將(1)式左右對x積分,範圍從-1到0即可得證

請教第 1 題的第 (2)、(3) 小題

引用:

原帖由 Superconan 於 2021-5-8 21:18 發表
請教第 1 題的第 (2)、(3) 小題

第 1 題沒第(3)小題吧?
(看到了,原來在第二個檔案內)

第 1 題
第 (2) 小題
f(x) 遞增
f(3) = -1 ＜ 0
f(a + 2) ＞ 0
由勘根定理，f(x) 與 x 軸有一交點

第 (3) 小題
從 a = 2，b = 10 去討論
可得 (2，10，100)、(3，9，16)、(4，8，8)、(6，6，4)、(9，3，2)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-5-8 21:49 編輯 ]

以下幾題想對個答案
8(4) \(\displaystyle \frac{1}{2}(e^{-x}sinx - e^{-x}cosx)+C\)

8(2) \(\displaystyle [sin(x^2+1)]^x [ln \ sin(x^2+1)+2x^2\ cot(x^2+1)]+C\)

8(3) \(\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{1+x^3}(\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3})+C\)

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2021-5-8 22:34 發表
以下幾題想對個答案

答案對,但題號要換一下

第8-3題不是要積分x^5/跟號(x^3+1)
為什麼答案會變成減？
積分後都要加上常數項
第8-1題下標應該是x不是n

筆誤打錯 謝謝您的提醒

請教8(2)(3)如何做?