計2. 您的式子好像沒有用到 \( abc=1 \)
是不需要？
還是其實在 \( a^5 + b^5 + c^5 \ge a^4 + b^4 + c^4 \) 的沒有寫出來的細節之中？

引用:

原帖由 thepiano 於 2021-4-27 10:22 發表
第 7 題
圖應是這樣
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3298

如果第一式是 >=1，的確如此
第一式如果是<=1，那應該會是三個扇形+一個弓形的組合
所以我才會覺得R的定義有問題

其實把第一式改成 ≧ 1，直接定義區域 R 就好了

題目說用曲線去圍，也可以解讀成 R 是 4 個 1/4 圓

想請問填充2,4,6,7,11以及
計算第一題第二小題
計算題第三題第二小題
計算第四題二三小題
謝謝

謝謝寸絲老師的疑慮 應該無法過渡，已修改成類似題!

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-4-27 15:40 編輯 ]

計 2. 其實不用把前回的拿掉，那個小洞是可以補起來的

同 \(3({a^8} + {b^8} + {c^8}) - ({a^5} + {b^5} + {c^5})({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge 0\) 證明的方法，

可得 \(3({a^5} + {b^5} + {c^5}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})(a + b + c) \ge 0\)
\( \Rightarrow {a^5} + {b^5} + {c^5} \ge \frac{{a + b + c}}{3} \cdot ({a^4} + {b^4} + {c^4})\)

再由算幾不等式 \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}} = 1\) 可得 \( {a^5} + {b^5} + {c^5} \ge ({a^4} + {b^4} + {c^4})\)，

故 \(3({a^5} + {b^5} + {c^5}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})({a^3} + {b^3} + {c^3}) \ge 3({a^8} + {b^8} + {c^8}) - ({a^5} + {b^5} + {c^5})({a^3} + {b^3} + {c^3})\)

另外填充 7. 我眼中的圖是這樣，曲線 \( \Gamma \) 上的點要同時滿足兩個式子，所以僅有圖中實線部分

2021.04.26.110板橋高中7.png (11.09 KB)

2021-4-27 16:30

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:26 編輯 ]

不好意思，能詢問一下填充第四的作法嗎? 一時想不明白

填充 2. 數字醜、算式長...很難算對的感覺
\( AC \) 的一個方向向量 \(\mathop u\limits^ \rightharpoonup = (1,2, - 2)\)
\( GE \)  的一個方向向量 \(\mathop v\limits^ \rightharpoonup = ( - 3,4,1)\)
\(\mathop u\limits^ \rightharpoonup \times \mathop v\limits^ \rightharpoonup = (10,5,10) = 5(2,1,2)\)
平面 \( ABCD \) 的一個法向 \(\mathop n\limits^ \rightharpoonup = (2,1,2)\)
平面 \( ABCD \) 的方程式 \(2x + y + 2z = - 7\)，
直線 \( GE \) 上，一點 \(I(2, - 2,0)\)，平面 \( EFGH \) 的方程式 \(2x + y + 2z = 2\)

令點 H 的坐標為 \(H( - 4 + 2t, - 1 + t,1 + 2t)\) 代入平面 \( EFGH \) 的方程式，可得 \(t = 1\), \(H( - 2,0,3)\), H 到平面 \( ABCD \) 的距離為 3。

令點 J 為 \(\overline {HF} \) 的中點，則 J 的坐標可令作 \(J( - 2 + s,2s,3 - 2s)\) ( ∵\( HJ//AC \) )
將 J 代入 \( GE \) 的比例式，解得\(s = 1\)。

\(\Delta GJH\) 中，\(\overline {GJ} = \overline {JH} \)，\(\Delta GJH = \frac{1}{2}|\mathop {GJ}\limits^ \rightharpoonup \times \mathop {HJ}\limits^ \rightharpoonup | = \frac{1}{2} {\overline {GJ} \cdot \overline {JH} } \cdot \frac{ |\mathop u\limits^ \rightharpoonup \times \mathop v\limits^ \rightharpoonup |}{{\left| {\mathop u\limits^ \rightharpoonup } \right| \cdot \left| {\mathop v\limits^ \rightharpoonup } \right|}} = \frac{{45\sqrt {26} }}{{52}}\)。

長方形 \( EFGH \) 面積 \( = 4 \cdot \Delta GJH = \frac{{45\sqrt {26} }}{{13}}\)。
所求長方體體積 \( = \frac{{45\sqrt {26} }}{{13}} \times 3 = \frac{{135\sqrt {26} }}{{13}}\)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-27 19:30 編輯 ]

感謝寸絲老師，受教了！還是整理了，分享給大家！

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2021-5-23 21:41 編輯 ]

第 4 題
3(2^x + 1) = y^2 + 2y = y(y + 2)
3(2^x + 1) 為奇數，y 為奇數，令 y = 2k + 1

3(2^x + 1) = (2k + 1)(2k + 3)
3 * 2^(x - 2) = k(k + 2)
k = 1，x = 2，y = 3
k = 4，x = 5，y = 9
k = 6，x = 6，y = 13

當 k ≧ 7
3 * 2^(x - 2) ≧ 3 * 2^5 無法分解成兩個差 2 的整數相乘

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-4-27 18:54 編輯 ]