第12題
函數\(f(x)=x^3-9x^2+15x-7\)圖形的切線中，過點\(P(0,a)\)的恰有相異兩條，求\(a\)之值=　　　。
[解答]
過切點\(\left( t,{{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)\)的切線為\(y-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( x-t \right)\)
過 P(0，a)
\(\begin{align}
  & a-\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+15t-7 \right)=\left( 3{{t}^{2}}-18t+15 \right)\left( 0-t \right) \\
& a=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7 \\
\end{align}\)
恰有兩條相異切線，表示\(y=a\)，和\(y=-2{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}-7\)恰有兩交點
\(\begin{align}
  & y'=-6{{t}^{2}}+18t=0 \\
& t=0\ or\ 3 \\
& a=-7\ or\ 20 \\
\end{align}\)

填充4
紅、藍、綠、白四種顏色塗在下面的四個格子中，一個格子塗一種顏色，而每個顏色可重複使用，但翻轉相同視為同一種塗法(即紅、藍、綠、白與白、綠、藍、紅視為同一種)。則總共有　　　種不同的塗法。
☐☐☐☐
[解答]
任意填色：
４＊４＊４＊４＝２５６

１＆４同色and２＆３同色：
會有自身旋轉後為自己。
但是任意填色時，就不會排出２個。
如：ＡＢＢＡ、ＡＡＡＡ等。
因此，不需要除以２。
共計有（４＊１）＊（４＊１）＝１６

而其餘的部分：
ＡＢＣＤ和ＤＣＢＡ要視為１種。
ＡＢＣＡ和ＡＣＢＡ要視為１種。
ＡＢＢＣ和ＣＢＢＡ要視為１種。
因此，需要除以２。

故此，
（２５６－１６）／２＋１６＝１３６。

填充13
求區域\( S=\{\; (x,y)|\; 0\le a \le 1,0 \le b \le 1,x=a+b+1,y=2a-3b+1 \}\; \)所圍成的區域面積　　

4869.jpg (93.07 KB)
填充13

2016-4-26 21:22

填充第11題
\( \displaystyle f(x)=\int_2^x (t-7)(t+3)dt \)，求曲線\( y=f(x) \)的所有切線中，斜率最小的切線方程式　　　
[解答]
\( f ' (x) = (x - 7)(x + 3) = (x - 2)^2 - 25 \)
\( x = 2 \)時，斜率最小是\( -25 \)
\( f(2) = 0 \)
所求為\( y = -25(x - 2) \)

105台南女中填充5.png (6.32 KB)

2016-10-16 05:25

填充 5
空間中三非零向量\( \vec{OA} \),\( \vec{OB} \),\( \vec{OC} \)，\( ∠AOB=30^{\circ} \)，\( ∠BOC=45^{\circ} \)，\( ∠COA=60^{\circ} \)，令\( \theta \)為平面\( AOB \)及平面\( BOC \)的法向量夾角，則\( |\; cos \theta |\;= \)　　　
[解答]
既然二面角的度量，是取與交線垂直的平面角，不妨直接令 AB⊥OB， CB⊥OB，所求即 |cos∠ABC|。

令 AB = 1，則 OA = 2，OB = BC = √3，OC = √6 。

由餘弦定理:

△AOC 中，AC² = 10 - 2√6

△ABC 中， |cos∠ABC| =  | (1 + 3 - AC²) / 2√3 | = | (2√6 - 6) / 2√3 | = √3 - √2

可以問第10題嗎？

謝謝

[ 本帖最後由 mcgrady0628 於 2016-4-27 04:53 PM 編輯 ]

填充第10題
\( (x+\sqrt{3})^{21}+(1-x)^{32}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{32}x^{32} \)，若\( a_0 -a_2+a_4-a_6+\ldots+a_{32}=2^k \)，求\( k= \)　　　
[解答]
\(f\left( x \right)={{\left( x+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-x \right)}^{32}}\)
所求為\(f\left( i \right)\)的實部
\(\begin{align}
  & f\left( i \right)={{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{21}}+{{\left( 1-i \right)}^{32}} \\
& ={{\left[ {{\left( i+\sqrt{3} \right)}^{3}} \right]}^{7}}+{{\left[ {{\left( 1-i \right)}^{2}} \right]}^{16}} \\
& ={{\left( 8i \right)}^{7}}+{{\left( -2i \right)}^{16}} \\
& ={{2}^{16}}-{{8}^{7}}i \\
\end{align}\)

感謝鋼琴大大！

挑個計算錯，應該是\(2x+y=5b+1 \)，不是\(5b+3\)。

但其實因為平移不影響面積，因此這一題一開始就直接看成\(a+b\)與\(2a-3b\)圍成的區域

用二階行列式可以求出來是\(a\)和\(b\)圍成區域的5倍。

\(z\)是一個複數，\( |\; z-i |\;=1 \)，\( i=\sqrt{-1} \)，則\( (3+4i)z \)實部的最大值為　　　

想請問版上老師第三題  是令\( z=a+bi \)帶入\( |\; z-i |\;=1 \)得到第一式\( a^2+(b-1)^2=1 \)

接者帶入\( (3+4i)z \)中得到\( (3a-4b)+(4a+3b)i \)因為是要求實部的部分為最大

所以令\( k=3a-4b \)整理得\( \displaystyle a=\frac{k+4b}{3} \)然後帶入第一式   得\( 25b^2+24kb-18b+k^2=0 \)

利用\(b\)是實數  判別式\(\ge\)  最後得到\( \displaystyle k \le \frac{9}{17} \) or \( \displaystyle k \ge \frac{9}{7} \)   ......和公告得答案不同

可以請問一下哪裡做錯了嗎?   謝謝!