填充第 9 題：

對於七題中的任意一題而言，

該題被答對的機率＝\(\displaystyle \frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{25}{49}\)

該題答對數目的的期望值＝\(\displaystyle 1\cdot\frac{25}{49}=\frac{25}{49}\)

此七題被答對數目的期望值＝\(\displaystyle 7\cdot\frac{25}{49}=\frac{25}{7}\)

想請教填充3 謝謝

請教填充2 謝謝!!

填充第 2 題：

請參考

https://math.pro/db/thread-62-1-4.html

https://math.pro/db/thread-401-1-1.html

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=2#pid2916

另外，不久前看過寸絲用二項分配（\(X\sim B(n, 1/2)\)

　　　求 \(2^n\cdot E(X^2)=2^n\cdot \left(Var(X)+E^2(X)\right)\) 來解這個的作法，更快，但是我忘了是哪一篇了。

填充第 2 題：

見 thepiano 老師在美夢成真的解答

http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=9684#p9684

感謝瑋岳大師!!

引用:

原帖由 weiye 於 2013-7-19 01:55 PM 發表
填充第 9 題：

對於七題中的任意一題而言，

該題被答對的機率＝\(\displaystyle \frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{25}{49}\)

該題答對數目的的期望值＝ ...

請教瑋岳老師
關於"該題被答對的機率 ..."這裡看不懂
想不出來,可否告知
謝謝

請教第6與10
謝謝
(第6題我嘗試用遞迴解,結果...)

該題被答對的機率＝(該題正確答案是○的機率)*(作答者該題答○的機率)＋(該題正確答案是×的機率)*(作答者該題答×的機率)

填充第 6 題：

易知 \(f(1)=\alpha+\beta=1>0,   f(2)=\left(\alpha+\beta\right)^2-2\alpha\beta=3>0\)

且 \(\displaystyle f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0,\forall n\in\mathbb{N}\)

\(\Rightarrow f(n+2)=f(n+1)+f(n)>0,\forall n\in\mathbb{N}\)


令 \(\displaystyle p=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}\)

則 \(\displaystyle f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0\Rightarrow \frac{f(n+2)}{f(n+1)}-1-\frac{f(n)}{f(n+1)}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p-1+\frac{1}{p}=0\Rightarrow p^2-p-1=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

因為 \(\displaystyle f(n)>0,\forall n\in\mathbb{N}\)，所以 \(p\geq0\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

註：因為是填充題，所以略掉了 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}\) 的存在性討論。