填充第五題：
思考一：看起來很像旋轉矩陣，就當旋轉矩陣來玩看看好了。
解答一：
如圖，令 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}, \sin\theta=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\)，其中 \(0^\circ<\theta<90^\circ\)
則 \(\displaystyle M=\cos\theta\left[\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{array}\right]\)
（註：以原點為中心逆時針旋轉 \(\theta\) 且伸縮為原來的 \(\cos\theta\) 倍）
畫出下圖：
其中
因此我們要求的面積＝\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\sin\theta\cdot\sin\left(180^\circ-\theta\right)=\frac{1}{2}\cos\theta\sin^3\theta\)
由算幾不等式，可得
\(\displaystyle\frac{\cos^2\theta+\frac{1}{3}\sin^2\theta++\frac{1}{3}\sin^2\theta++\frac{1}{3}\sin^2\theta}{4}\geq\sqrt[4]{\cos^2\theta\left(\frac{\sin^2\theta}{3}\right)^3}\)
化簡後，可得所求三角形面積的最大值為 \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{32}.\)
思考二：咦，剛剛的過程雖然包裝成三角函數，
可是也只是方便算面積而已呀，沒有用到什麼三角函數的特別性質，
而且最後還是透過算幾不等式，
也就是如果一開始就硬做＋算幾，應該也可以呀。
解答二：
如同前篇回覆，先算出 \(P_1,P_2,P_3\)，再算 \(\displaystyle\triangle P_1P_2P_3=\frac{a^3}{2\left(1+a^2\right)^2}\)
可由算幾不等式得
\(\displaystyle\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{1+a^2}\right)\geq\sqrt[4]{\frac{1}{27}\frac{a^6}{(1+a^2)^4}}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{32}\geq\frac{a^3}{2(1+a^2)^2}\)
