如附件
教甄已近尾聲
筆試功力仍需精進!
各位請享用!

1.
f(x)=x4−3x2−6x+13−x4−x2+1 的最大值為？10 
(1992大陸高中數學競賽，95基隆高中，高中數學101修訂版　P237)
[解答]
f(x)=(x2−2)2+(x−3)2−(x2−1)2+(x−0)2 
令P(x2x)在y2=x上，A(23)，B(10)
f(x)=AP−BPAB=10 
即f(x)之最大值為10 


求函數f(x)=x4−3x2+4+x4−3x2−8x+20 的最小值？4
88高中數學能力競賽，95台中高農，96彰師附工，
97文華高中，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781
99萬芳高中，https://math.pro/db/thread-969-1-1.html
99鳳新高中，https://math.pro/db/thread-1492-1-9.html

這麼多學校考過這兩題，答案你背起來了沒？


8.
△ABC中，a,b,c分別為頂點A,B,C的對邊，若cotCcotA+cotB=99，求c2a2+b2？
(95台中高農)

Let a,b,c be the three sides of a triangle, and let α,β,γ be the angles opposite them. If a2+b2=1989c2, find cotcot+cot
(1989AIME)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-30 09:14 PM 編輯 ]

請問第2,3,5,6,9,10題  要怎麼做?

[ 本帖最後由 mandy 於 2011-7-1 08:54 PM 編輯 ]

2.
有7個城鎮圍成一七邊形,，已知除了DE外，任兩城鎮間皆恰有一條道路往來。某人從A出發經過每一城鎮一次後回到A，若相同路徑不得重複走, 則此人有　　　種不同的走法。

[解答]
就是BCDEFG的直線排列，但是DE不能相鄰
6!-2*5!=4*5!=480


3.
在坐標平面上，不等式(3x2−y2)[log2(25−x2−y2)−3]0所表示的區域之面積為　　　。
[解答]
圖中藍色區域
221[3217+3(25−17)]=14

5.
設121n是n次多項方程式xn+xn−1++x+1=0的n個根，試求：11−1+12−1+1n−1=　　　。
[解答]
令f(x)=xn+xn−1++x+1
f(x)f(x)=1x−1+1x−2++1x−n
所求為
−f(1)f(1)=−n+121n(n+1)=−2n


6.
設R，試求：(cos−)2+(sin−)2+(cos−+5)2+(sin−+15)2+2+2−24+18+225+2+2−60−20+1000 的最小值為　　　。
[解答]
視為點 P()到A(cossin)、 B(5+\cos\gamma,15+\sin\gamma)
還有C(12,-9)和D(30,10)的距離和
A在單位圓O上，B在圓 M : (x-5)^2+(y-15)^2=1 上，P到圓的最短距離會等於到圓心距離減去半徑，
所以所求可以看成P到O、M、C、D四點距離和的最小值再減2
最小值發生在四邊形OCDM對角線交點
所求為 25+10\sqrt{10}-2=23+10\sqrt{10}

9.
設橢圓曲線 \Gamma ： \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1 與直線L： x=12 ，若 A_0,F 的坐標分別為 (6,0),(3,0) ，在曲線 \Gamma 上另有11個點A_k， k=1,2,3,\ldots,11 使得∠A_0FA_1=∠A_1FA_2=\ldots=∠A_{11}FA_0，令 d_k 為 A_k 到L的距離，試求 \displaystyle \sum_{k=0}^{11}\frac{1}{d_k}= 　　　。
[解答]
參考 圓錐曲線焦弦的性質
http://lyingheart6174.pixnet.net ... 4%E6%80%A7%E8%B3%AA
共有六組，離心率為 \frac{1}{2} ，所求為
\displaystyle 6\times\frac{4}{\frac{54}{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{3}

10.
N 為自然數， A,B,C,D 為N的最小的四個相異正因數，且滿足 N=A^2+B^2+C^2+D^2 ，試求 N= 　　　。
[解答]
A=1
若N為奇數，右邊是偶數，不合，故N是偶數
B=2
此時不管C、D如何，平方和不會是4的倍數，所以N不是4的倍數
若C、D皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令C=p,D=2p
N=5+5p^2=5(1+p^2)
故p=5
N=130

請問老王老師

第6題這樣的題目類型，有可能考到三點距離和為最小嗎

關於第9題

網頁中提到性質2可以改為 ：1/PF＋1/QF＝4/K。(K為正焦弦長)

這裡頭不是已經把離心率e用c/a替換了嗎

為什麼最後還需要乘上e=1/2

另外想請問  習題中提到  如何用解析方法證明性質2

感謝老師指導

感謝以上所有老師 !!

因為計算的是1/PF+1/QF，但是此題要的是1/d(P,L)+1/d(Q,L)
也就是P、Q到準線距離的倒數和，而PF=e*d(P,L)，QF=e*d(Q,L)
1/d(P,L)+1/d(Q,L)=e/PF+e/QF
所以還要乘上離心率。
其實只要知道這個性質，那麼就直接用長軸兩頂點來算這定值就很快。

另外，通常作者不想算的東西，會留做習題。
應該就是把方程式寫出來，然後再利用PFQ共線的條件去導出來吧。