104南二中代理

請問老師 填充 2, 7
                計算 2

計算第2題
若兩容器甲、乙分別裝有濃度為\( 25% \)與\( 10% \)的糖水各1公升(兩容器皆半滿)，今從甲容器倒出\( \displaystyle \frac{1}{4} \)的糖水到乙容器搖勻後，再從乙容器倒出\( \displaystyle \frac{1}{4} \)的糖水回到甲容器，如此繼續重複操作下去。試問：至少需操作幾次後，甲、乙兩容器中的糖水濃度差小於\( 0.001% \)？

題目是否應修正如下？
……，今從甲容器倒出\(\displaystyle \frac{1}{4}\)公升的糖水到乙容器搖勻後，再從乙容器倒出\(\displaystyle \frac{1}{4}\)公升的糖水回到甲容器，……

填充2
擲ㄧ公正的骰子兩次，若\( a、b \)分別表示第一次及第二次出現的點數，則直線\( x-y+1=0 \)與圓\( (x-a)^2+(y-b)^2=2 \)有交點的機率為　　　。
[解答]
直線與圓相交，則圓心到直線距離小於或等於半徑
得|a-b+1| <= 2，即可求出所有(a,b)


填充7
設四面體\( OABC \)中，\( \vec{OA},\vec{OB},\vec{OC} \)兩兩垂直，若\( \overline{OA}=4 \)，\( ∠BAC=60^{\circ} \)，試求\( \Delta ABC \)的面積？
[解答]
不失一般性，設A(4,0,0) B(0,b,0) C(0,0,c)
|AB||AC|cos60度 = AB內積AC =16
得|AB||AC|=32
三角形ABC面積= 1/2 * 根號[|AB|^2|AC|^2-(AB內積AC)^2]

請教下列各題
謝謝

多選 2
已知\(f(x)\)為多項式函數，若函數\(f'(x)\)的圖形為通過\(A(1,0)\)與\(B(2,0)\)兩點且開口向下的拋物線，試問下列哪些選項是正確的？
(A)\(f(x)\)在\(1<x<2\)的範圍內為遞增函數
(B)若\(L\)為以\((3,f(3))\)為切點的切線，則\(L\)的斜率為正
(C)方程式\(f(x)=0\)有三個實根
(D)\(f(x)\)在\(x=1\)處有極大值
(E)\(f(x)\)在區間\((2,\infty)\)的圖形是凹口向下
[選項(E)解答]
\(f'(x) = a(x - 1)(x - 2)\)，\(a < 0\)
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}ax^3 - \frac{3}{2}ax^2 + 2ax + C\)
\(x^3 \)項的係數為負，畫圖可知\( f(1) \)是極小值，\(f(2)\)是極大值
故 (E) 選項正確

多選 3
已知\(f(x)\)是三次實係數多項式，且\(f(11)=2012\)，\(f(21)=-2013\)，\(f(31)=2014\)，設\(\displaystyle g(x)=\frac{(x-21)(x-31)}{(11-21)(11-31)}\cdot 2012+\frac{(x-11)(x-31)}{(21-11)(21-31)}\cdot (-2013)+\frac{(x-11)(x-21)}{(31-11)(31-21)}\cdot 2014\)且\(r(x)\)為\(f(x)\)除以\((x-11)(x-21)(x-31)\)之餘式，試問下列哪些選項是正確的？
(A)\(r(11)=2012\)
(B)\(g(41)=-2015\)
(C)方程式\(f(x)=0\)恰有3個相異實根
(D)方程式\(f(x)-g(x)=0\)恰有3個相異實根
(E)方程式\(r(x)=0\)恰有2個相異實根
https://math.pro/db/thread-2323-1-1.html

計算1
已知\((\sqrt{3}+\root 4 \of 5)^{21}\)展開後有21項：
(1)試求共有多少項為無理數？
(2)若從展開後的這21項中任取3項，令隨機變數X表示取出的3項中為有理數的項數，試求X的期望值？
[解答]
期望值\( = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) \)
　　　\( \displaystyle =1 \cdot \frac{C_2^{15}\cdot C_1^6}{C_3^{21}}+2 \cdot \frac{C_1^{15}\cdot C_2^6}{C_3^{21}}+3 \cdot \frac{C_0^{15} \cdot C_3^6}{C_3^{21}} \)
　　　\(\displaystyle =\frac{6}{7}\)

解二
先算取單項的期望值，再乘以3
\( \displaystyle 1 \cdot \frac{6}{21} \cdot 3=\frac{6}{7} \)

謝謝您
這是我計算題的算法
好複雜
算出來是９
也不知道對不對！
想請教老師您
不知道能不能指點一下對錯
或是有更簡明易懂的方式求解？
謝謝您

依您的做法，題目要修正為以下：

今從甲容器倒出\(\frac{1}{4}\)公升的糖水到乙容器搖勻後，再從乙容器倒出\(\frac{1}{4}\)公升的糖水回到甲容器

而最後的\({{a}_{n}}-{{b}_{n}}=\frac{9}{100}\times {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n-1}}\)

至於原題，小弟用電腦算了一下是17次

不好意思，您是怎算的？
我再用同樣方法計算幾次
所得如下《紅色標示》
然後算是２０
老師您可否指點一下我哪算錯了？
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