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原帖由 八神庵 於 2010-7-6 08:07 PM 發表
關於計算第一題的教學解題
小弟我有想出三角函數法(高二)與微分法(高三)
如果出現在高一,那要用什麼方法解題?
請各位不吝指教
(PS.99課綱已把三角函數挪至高二上學期了.....)  

計算第一題，

題目：有一題目如下：『有一半徑 \(20\) 公尺的半圓形釣蝦場，

想在上面蓋一 T 字型的木橋方便釣客垂釣(如圖 \(\overline{OM}\perp\overline{AB}\) )。

為使木橋總長 \(\overline{AB} +\overline{OM}\) 為最大，求此時 \(\overline{OM}\) 的長度是多少?』

試問：該題在高一，高二，高三出現時，請您使用不同的解法來教導學生，請詳細說明您的解法。

解答：

令 \(\overline{AM}=x\)，\(\overline{OM}=y\) 且 \(2x+y=k\)，

則此題目要求 \(k\) 的最大值，

由 \(\overline{OA}^2=\overline{AM}^2+\overline{OM}^2\)，可得 \(x^2+y^2=400\)

\(\Rightarrow x^2+\left(2x-k\right)^2=400\)

\(\Rightarrow 5x^2-4kx+\left(k^2-400\right)=0\).......（＊）

因為 \(x\) 為實數，

所以由（＊）之判別式\(\geq0\)，

可得 \(-20\sqrt{5}\leq k\leq20\sqrt{5}\)

所以 \(k\) 有上界 \(20\sqrt{5}\)，

且當 \(k=20\sqrt{5}\) 時，將其帶入 （＊）

可得 \(x=8\sqrt{5}, y=4\sqrt{5}\)

故當 \(\overline{OM}\) 長為 \(4\sqrt{5}\) 時，\(\overline{AB} +\overline{OM}\) 為最大。

第 1 題：設 \((x, y) = (a,b)\) 為方程式 \(3^{33} x + 2^{22} y =1\) 的整數解，若 \(b > 0\)，則\(b\div9\) 的餘數為_______。

解答：

\[3^{33} a + 2^{22} b = 1\]

\[3^{33} a + 2^{22} b \equiv 1\pmod{9} \]

\[2^{22} b \equiv 1\pmod{9} \]

\[8^7\cdot2 b \equiv 1\pmod{9} \]

\[\left(-1\right)^7\cdot2 b \equiv 1\pmod{9} \]

\[\left(-2\right) b \equiv 1\pmod{9} \]

\[7 b \equiv 1\pmod{9} \]

偷偷找一下二元一次不定方程式 \(7x+9y=1\) 的一組解，

可得 \(7\cdot4+9\cdot\left(-3\right)=1\Rightarrow 7\cdot4\equiv1\pmod{9}\)

所以在 \(\pmod{9}\) 的餘數系統（Residue system）裡面 \(7\) 與 \(4\) 互為乘法反元素。

續接上面，可得

\[4\cdot7 b \equiv 4\cdot 1\pmod{9} \]

\[28 b \equiv 4\pmod{9} \]

\[1\cdot b\equiv4\pmod{9}\]

\[b\equiv4\pmod{9}.\]

第 2 題：設 \(\left|\log_2 x\right| - x^2=0\) 之根為 \(\alpha\) ，\(\left|\log_3 x\right| - x=0\) 之根為 \(\beta\) ，\(\left|\log_3 x\right| - x^2=0\) 之根為 \(\gamma\) ，則 \(\alpha,\beta,\gamma\) 的大小順序為_______。

解答：

畫出 \(y=\left|\log_2 x\right|,\, y=\left|\log_3 x\right|,\, y=x,\, y=x^2 \) 的圖形，

再看交點，即可得答案。

第 14 題： 已知拋物線 \((x+1)^2=2py\,\left(p>0\right)\) 的焦點 \(F\)，\(A\) 是拋物線上縱坐標為 \(4\) 且在 \(y\) 軸左方的點，\(A\) 到拋物線準線的距離等於 \(5\)，過 \(A\) 作 \(x\) 軸的垂線，交 \(x\) 軸於 \(B\) 點， \(O\) 為原點，令 \(M\) 為 \(OB\) 中點，過 \(M\) 作 \(AF\) 的垂線交 \(AF\) 於 \(N\)，則 \(N\) 點坐標為_______。

解答：

因為題目所給的拋物線開口向上且 \(A\) 到準線的距離等於 \(5\)

　　及 \(A\) 是拋物線上縱坐標為 \(4\) 的點，

可得準線為 \(y=-1\)，

因此，拋物線頂點 \((-1,0)\) 到準線的距離\(=1\)，

可得拋物線方程式為 \((x+1)^2=4y\)

所以，所有的點都可以找得出來坐標。


註：1. 感謝 mandy 於後方回覆提醒我一開始的題目有寫錯加減號！^__^

　　2. 因為又順手算了一遍，順便補上每個點的坐標如下：

　　　\(\displaystyle A(-5,4),\, B(-5,0),\, \mbox{原點}(0,0),\,M(\frac{-5}{2},0),\,F(-1,1),\, N(\frac{-37}{25}, \frac{34}{25}).\)

這些圓縮小時，半徑所成數列的公比，

會跟三角形縮小時，邊長的公比一樣，

或是要用 \(\displaystyle\frac{\overline{OC_1}}{\overline{OC}}\) 也一樣（其中，\(C\) 是 \(A_1\) 與 \(B_1\) 的中點）。

感謝！我怎麼一直看錯小地方，真的是越來越老眼昏花了！＝＝

計算第四題第二小題，題目給的橢圓與拋物線都對稱於 \(y\) 軸，

所以由於對稱性的關係，此四個相異交點會形成等腰梯形（兩平行對邊會平行 \(x\) 軸），

也就是要證「等腰梯形的四個頂點會共圓」。

google 找  Dandelin spheres  就可以得到許多附有圖解的證明！


前幾筆資料如下～

http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

http://clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html （這個還有動畫！！讚～）

http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html

以上都有證明（說明）～：）

ps. 1. 或是翻教師手冊，通常也有 Dandelin spheres 的說明！：）

　  2. 相關考題：https://math.pro/db/thread-578-1-1.html

　　　　　　　 https://math.pro/db/thread-555-1-1.html

會這樣問表示您可能還沒有弄懂上面  Dandelin spheres 的說明～

雖然上面連結中 Dandelin spheres 的說明是以圓錐為例，

但根據這題我改以圓柱為例好了（原理相同）。

先來一個觀念～球面外一定點往球所做的切線段長都相同～

因此下圖中，\(\overline{PB}=\overline{PF_2}\) 且 \(\overline{PA}=\overline{PF_1}\)，

所以 \(\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{AB}\) 為定值！

此定值，即為橢圓的長軸長。

感謝您，我剛剛把那篇回覆的題目寫錯加減號的地方改正了，順便補上剛剛又算一次的各個點坐標，方便您交叉比對一下。：）