選擇第 1 題：
已知空間中三直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\)，\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z}{1}\)，\(L_3\)：\(\displaystyle \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3}\)，下列何者可能為此三直線投影到\(xy\)平面的圖形？
分析：空間中，一點 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 滿足關係式 \(\displaystyle \frac{x_0-x_1}{a}=\frac{y_0-y_1}{b}=\frac{z_0-z_1}{c}\)
則 \(P\) 投影到 \(xy\) 平面之後，投影點為 \(Q(x_0,y_0,0)\)，
當然 \(x_0, y_0\) 還是滿足關係式 \(\displaystyle \frac{x_0-x_1}{a}=\frac{y_0-y_1}{b}\)
解答：
畫出 \(xy\) 平面上的三條直線 \(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}, \frac{x-2}{-2}=\frac{y-4}{-3},\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{1}\) 即可得所求圖形。
前兩條互相平行，第三條不與前兩條平行。
選擇第 6 題的第五個選項：
三次函數\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-x\)之圖形為曲線\(\Gamma\)，由點\(\displaystyle A(2,-\frac{2}{3})\)作曲線\(\Gamma\)的切線，則下列敘述何者為真？
(1)其中有一切線的切點其\(x\)座標為1
(2)由點\(A\)可作三相異切線
(3)其中有一切線的斜率是0
(4)所有切線的斜率和為6
(5)其中有一切線與曲線\(\Gamma\)有2個相異交點
圖形如下圖，
畫的清楚的話應該就可以看出答案了，
也可以麻煩一點～解切點、切線、再與 \(\displaystyle y=\frac{1}{3}x^3-x\) 解交點。＝＝
選擇第 8 題：
已知方程組\((A)\)：\(\cases{a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \cr a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \cr a_3x+b_3y+c_3z=d_3}\)及方程組\((B)\)：\(\cases{a_1x+b_1y+c_1z=0\cr a_2x+b_2y+c_2z=0\cr a_3x+b_3y+c_3z=0}\)，
設\((1,2,3)\)及\((10,-1,9)\)均為方程組\((A)\)的解，則下列敘述何者為真？
(1)方程組\((A)\)的幾何意義為三平面交於一直線
(2)方程組\((B)\)恰有一組解\((0,0,0)\)
(3)方程組\((B)\)有無限多組解
(4)\((300,-100,200)\)為方程組\((B)\)的一組解
(5)\((1,2,3)\)為方程組\((B)\)的一組解
[解答]
令 \(P(1,2,3), Q(10,-1,9)\)，則
選項（1）：方程組（A）可能為直線 \(PQ\) 或包含直線 \(PQ\) 的某一個平面。
選項（2）：方程組（B）可能為通過原點且平行於直線 \(PQ\)的直線，
或通過原點且平行於直線\(PQ\)的平面。
亦即，方程組（B）有無限多組解且通過 \((0,0,0)\)。
選項（3）：承選項（2），正確。
選項（4）：承選項（2），方程組（B）的圖形至少包含直線 \(\displaystyle \frac{x-0}{9}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-0}{6}\)
且點 \((300,-100,200)\) 在上述直線上，故 \((300,-100,200)\) 為方程組（B）的一組解。
選項（5）：承選項（3），直線 \(\displaystyle \frac{x-0}{9}=\frac{y-0}{-3}=\frac{z-0}{6}\) 並不包含點 \((1,2,3)\)
因此無法保證方程組（B）（其圖形可能為直線或平面）有解 \((1,2,3)\)。
填充第 18 題：
已知\(x\ge 0\)，\(y\ge 0\)，\(z\ge 0\)且\(2x+y+z=4\)，若\(x+3y\le5\)，則\(x+y\)的最大值為
。
[解答]
\(z=4-2x-y\geq 0\)
線性規劃，先畫出可行解區域 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x\geq0,\\ y\geq0,\\ x+3y\leq 5, \\ 4-2x-y\geq0\end{array}\right.\)
再找出可行解區域的頂點，然後帶入限制條件 \(x+y\)，然後找出最大值。
填充第 14 題：
在\(\Delta ABC\)中三內角為\(∠A\)、\(∠B\)、\(∠C\)，已知\(4sinB+3cosC=1\)、\(3sinC+4cosB=6\)，則\(∠A\)的度數為
。
[解答]
\(4\sin B+3\cos C=1\)、\(3\sin C+4\cos B=6\) 兩式平方後相加，
可得 \(\displaystyle \sin(B+C)=\frac{1}{2}\Rightarrow B+C=30^\circ\) 或 \(150^\circ\)
若 \(B+C=30^\circ\)，則 \(0^\circ<B<30^\circ\) 且 \(0^\circ<C<30^\circ\)
\(\displaystyle \Rightarrow 0<\sin B< \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}< \cos C< 1\)
\(\displaystyle \Rightarrow 4\sin B+3\cos C>4\times 0 + 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
此與 \(4\sin B+3\cos C=1\) 相矛盾，不合。
\(B+C=150^\circ\Rightarrow A=30^\circ\)
