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2.空間中一四面體的四頂點分別為\( A(0,0,1) \)，\( B(2,4,0) \)，\( C(0,0,0) \)，\( D(4,2,0) \)，平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，則E的方程式為？

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空間中一四面體的四個頂點分別為\( A(0,0,1) \)，\( B(2,4,0) \)，\( C(0,0,0) \)，\( D(4,2,0) \)，平面E通過A與\( \overline{BD} \)中點且與\( \overline{BC} \)有交點。若平面E將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\( \displaystyle \frac{1}{3} \)，則E的方程式為？
(98高中數學能力競賽　台中區複試試題)
https://math.pro/db/thread-911-1-3.html

1.平面上，設\( A(0,4) \)，\( B(0,9) \)，P在正向x軸上移動，設\( ∠APB=\theta \)，則\( tan \theta \)之最大值為
(A)\( \displaystyle \frac{5}{6} \)　(B)1　(C)\( \displaystyle \frac{5}{12} \)　(D)\( \frac{7}{5} \)。

參考右圖在直角坐標的y軸上有兩點\( A(0,a) \)，\( B(0,b) \)，\( a>b>0 \)有一點C在x軸的正向上，\( ∠ACB=\theta \)，則當C點坐標為　　時，\( tan \theta \)有最大值　　
(94暨大附中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13656　連結已失效)

小安最近趕流行到歷史博物館參觀田園之美畫展，其中有一幅巨大壁畫高9公尺，其下端離地面4.5公尺，小安眼睛距地面1.5公尺，則他應站在離牆x公尺處欣賞此畫作，可得最大視角\( \theta \)，求此x值與\( tan \theta \)值大小？請你為附庸風雅的小安解出最佳觀賞位置吧!
(97大安高工，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47771　連結已失效)


9.若某橢圓的兩焦點為(0,0)、(0,4)，且此橢圓與直線\( x+y+1=0 \)相切，則此橢圓的長軸長為
(A)\( \sqrt{26} \)　(B)\( \sqrt{23} \)　(C)\( \sqrt{22} \)　(D)\( \sqrt{17} \)

我的教甄筆記　橢圓曲線的光學性質
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807


二計算及證明題：
3.設正三角形邊長為1，試證：由此正三角形內部任取5點，至少有兩點的距離小於或等於\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。