計算第 2 題的(2)

因為 \(\displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\frac{\alpha-\beta\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}\)，注意其中 \(\displaystyle0<\frac{\beta}{\alpha}<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0.\)

所以 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha.\)

註：感謝 nathan 於後方回覆中提醒小弟的加減號有錯！已修正。^___^


計算第 3 題

取三角形三邊中點，並將之連接，

可以將題目所給之三角形分成四個小三角形區域，

則在大三角形內部任取五點時，必至少有兩點落在同一個小三角形的區域內，

因為小三角形內任兩點最遠距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)（即小三角形的邊長），

所以在大三角形內部任取的五點中，

至少有兩點的距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)。




計算第 4 題

\(\displaystyle \int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx=t^3+3t\)


\(\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\left(\int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx\right)=\frac{d}{dt}\left(t^3+3t\right)\)


\(\displaystyle\Rightarrow\pi\left(f(t)\right)^2=3t^2+3\)


\(\displaystyle\Rightarrow f(t)=\pm\sqrt{\frac{3t^2+3}{\pi}}\)


\(\displaystyle\Rightarrow f(x)=\pm\sqrt{\frac{3x^2+3}{\pi}}.\)

可以參考李吉彬老師這篇對於遞迴數列的介紹 http://cplee8tcfsh.googlepages.com/recursive.pdf

見其中之【貳、二階遞迴數列】。

看完之後，再回頭來看這一段：

因為 \(\displaystyle p_n=(\alpha +\beta )p_{n-1}-\alpha \beta p_{n-2} \) 的特徵方程式

為 \(x^2=(\alpha+\beta)x-\alpha\beta\Rightarrow (x-\alpha)(x-\beta)=0\)

其兩根為 \(\alpha,\beta\)，

所以，可以令此遞迴數列的一般項為 \(\displaystyle p_n=c_1\alpha^n+c_2\beta^n\)，

再帶入題目有給的 \(p_1\) 與可以容易算出的 \(p_2\)，

解聯立方程式，可得 \(c_1,c_2\)。

選擇第 8 題：已知三次函數 \(\displaystyle y = x^3 + ax^2 + bx + c\) 之圖形與拋物線 \(\displaystyle y = x^2\) 之圖形交於相異三點 \(\displaystyle P(-1, y_1 )\)、\(\displaystyle Q (\frac{1}{2},y_2) \)、\(\displaystyle R(x_3, y_3 )\)，且 \(\displaystyle \overline{PQ}\) 垂直 \(\displaystyle \overline{QR}\)，則 \(\displaystyle a + b + c =\)______。


解答：

\(\displaystyle P,Q\) 兩點在 \(\displaystyle y=x^2\) 直線上，帶入可得 \(\displaystyle y_1=1,y_2=\frac{1}{4}\)，

再來找 \(R(x_3,x_3^2)\)，

因為 \(\displaystyle \overline{QR}\) 與 \(\displaystyle \overline{PQ}\) 垂直，所以斜率相乘等於 \(\displaystyle -1\)，

從而解出 \(\displaystyle R(\frac{3}{2},\frac{9}{4})\)，

將 \(\displaystyle P,Q,R\) 三點帶入 \(\displaystyle y=x^3+ax^2+bx+c\)，

可解得 \(\displaystyle a=0,b=-\frac{5}{4},c=\frac{3}{4}\)

其實在 iamcfg 前面的回覆中就已經有寫解答了『7. 題目已經偷偷告訴你  u,v,w所圍成體積=6了  後面的體積會= 行列式值*6』


選擇題第 7 題：設 \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) 是空間向量且 \(\vec{u}\cdot \left(\vec{v}\times\vec{w}\right)=6\)，則三向量 \(2\vec{v}+\vec{w}, 3\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}, 4\vec{u}+\vec{w}\) 所張開的立體體積為？


解答：

\(\displaystyle | \det(\left[\begin{array}{ccc}2\vec{v}+\vec{w}\\ 3\vec{u}-\vec{v}+2\vec{w}\\ 4\vec{u}+\vec{w}\end{array}\right] )|\)


\(\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |\)

\(\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] ) \cdot \det(\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |\)


\(\displaystyle =| \det(\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 1\\ 3 & -1 & 2\\ 4 & 0 & 1\end{array}\right] ) | \cdot | \det(\left[\begin{array}{ccc}\vec{u}\\ \vec{v}\\ \vec{w}\end{array}\right] ) |\)

\(\displaystyle=14\cdot\left|\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\right|\)

\(\displaystyle=14\cdot 6\)

\(\displaystyle=84\)

計算證明題：

第 2 題，第 1 小題：（以數學歸納法證明之）

1. 當 \(n=1\) 時，右式\(\displaystyle=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha-\beta}=\alpha+\beta=a_1=\)左式。

2. 假設當 \(n=k\) 時，欲求證之式成立，亦即假設 \(\displaystyle a_k=\frac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha^k-\beta^k}\)，

　　則當 \(n=k+1\) 時，右式\(\displaystyle=\frac{\alpha^{k+2}-\beta^{k+2}}{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}\)

　　　　　　　　　　　　　 \(\displaystyle=\frac{\left(\alpha+\beta\right)\left(\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}\right)-\alpha\beta\left(\alpha^k-\beta^k\right)}{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}\)

　　　　　　　　　　　　　 \(\displaystyle=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{\displaystyle\left(\frac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha^k-\beta^k}\right)}\)

　　　　　　　　　　　　　 \(\displaystyle=\alpha+\beta-\frac{\alpha\beta}{a_k}\)

　　　　　　　　　　　　　\(=a_{k+1}=\)左式

由 1. 2. 及數學歸納法原理，可知所求證之式，對於任意自然數 \(n\) 恆成立。