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99屏東女中

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6.\( \omega \)為\( z^7=1 \)之虛根,試求
甲、以\( \omega+\omega^2+\omega^4 \),\( \omega^3+\omega^5+\omega^6 \)為兩根之二次方程式
乙、求\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)之值
[提示]
\( \omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6=-1 \)
\( (\omega+\omega^2+\omega^4)(\omega^3+\omega^5+\omega^6)=2 \)


9.若\( \cases{a+b+c+d+e=8 \cr a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16} \),求e的最大值?
https://math.pro/db/thread-61-1-2.html

以下的題目都是相同技巧
(高中數學競賽教程P195,93彰化女中,TRML2006個人賽都有這題)
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=17863

設\( a,b,c,d \in R \),\( a+b+c+d=6 \),\( a^2+b^2+c^2+d^2=12 \),則d的最大值為?
(96嘉義高工,https://math.pro/db/thread-61-1-2.html)

設\( a,b,c,d \in R \),且\( \cases{a+b+c+d=4 \cr a^2+2b^2+3c^2+6d^2=10} \),若a的最大值為M,最小值為m,求數對\( (M,m) \)?
(97大里高中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052)

\( \cases{a+b+c+d=3 \cr a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5} \)求a的最大最小值?
(高中數學101 P355,高中數學101修訂版 P357)

已知\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=24 \)且\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k^2=64 \);若\( a_1,a_2,a_3,...,a_{10} \)均為實數,則\( a_1 \)的最大值為?
(99師大附中,https://math.pro/db/thread-935-1-3.html)


10.\( \displaystyle \cases{sin\theta+cos\phi=\frac{3}{5} \cr cos\theta+sin\phi=\frac{4}{5}} \),求\( cos\theta sin\phi \)
(96家齊女中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23930)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-9-12 09:06 PM 編輯 ]

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12. \( \langle\; a_n \rangle\; \)為1到n之一個排列,試證\( \displaystyle \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n}\gt \frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{n-1}{n} \)


設\( a_1,a_2,...,a_n \in N \),且各不相同,求證:\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\le a_1+\frac{a_1}{2^2}+...+\frac{a_n}{n^2} \)。
(奧數教程高二 第19講排序不等式與琴生不等式)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-3 06:51 AM 編輯 ]

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