99基隆高中

1.設有一奇整數n及一角θ使得聯立方程式
\( \cases{3^n y+(sin 2 \theta)^n z=0 \cr
(1+sec \theta)^n x+z=0 \cr
-x+(1+csc \theta)^n y=0} \)
中的x,y與z不只一組解，試求\( sin \theta+cos \theta+tan \theta+cot \theta+sec \theta+csc \theta \)之值。
(98台灣師大大學甄選入學指定項目甄試試題)
[提示]
利用行列式為0，得到\( \displaystyle (sin \theta+1)(cos \theta+1)=\frac{3}{2} \)


2.證明：\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \Bigg(\; 1+\frac{1}{n} \Bigg)\; ^n \)有極限值？
(97全國高中聯招，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958　連結已失效)


3.(1)\( \displaystyle tan \frac{\pi}{13} tan \frac{2 \pi}{13} tan \frac{3 \pi}{13} tan \frac{4 \pi}{13} tan \frac{5 \pi}{13} tan \frac{6 \pi}{13} \)
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(2)\( sin1^o \cdot sin3^o \cdot sin5^o \cdot ... \cdot sin85^o \cdot sin87^o \cdot sin89^o \)
(高中數學101　P146，高中數學101修訂版　P147)


4.(1)令\( [\ x ]\ \)表示高斯符號，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{1024} [\ log_2 n ]\ = \)？
(高中數學101　P95，高中數學101　P96)


4.(2)求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{3} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{2}{3} \Bigg]\;+\Bigg[\; \frac{2^2}{3} \Bigg]\;+...+\Bigg[\; \frac{2^{100}}{3} \Bigg]\; \)之值，其中\( [a] \)表示不超過a的最大整數。
(2000TRML個人賽)
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4.(3)若\( [x] \)表示不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{96} \Bigg[\; \frac{53n}{97} \Bigg]\;= \)。
(2004TRML團體賽)