第 16 題：
設方程式 \(x^4+x+1=0\) 的四個複數根為 \(r_1,r_2,r_3,r_4\)。若 \(P(x)=x^2-3\)，則 \(P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)=?\)      

解答：

令 \(f(x)=x^4+x+1 = \left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)\left(x-r_3\right)\left(x-r_4\right)\)，

因為 \(P(x)=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)=\left(\sqrt{3}-x\right)\left(-\sqrt{3}-x\right)\)

所以，所求 \(=P(r_1)\times P(r_2)\times P(r_3)\times P(r_4)\)

　　　　　 \(=\left(\sqrt{3}-r_1\right)\left(-\sqrt{3}-r_1\right)\times\left(\sqrt{3}-r_2\right)\left(-\sqrt{3}-r_2\right)\times\left(\sqrt{3}-r_3\right)\left(-\sqrt{3}-r_3\right)\times\left(\sqrt{3}-r_4\right)\left(-\sqrt{3}-r_4\right)\)

　　　　　\(=\left[\left(\sqrt{3}-r_1\right)\left(\sqrt{3}-r_2\right)\left(\sqrt{3}-r_3\right)\left(\sqrt{3}-r_4\right)\right]\times\left[\left(-\sqrt{3}-r_1\right)\left(-\sqrt{3}-r_2\right)\left(-\sqrt{3}-r_3\right)\left(-\sqrt{3}-r_4\right)\right]\)

　　　　　\(=f\left(\sqrt{3}\right)f\left(-\sqrt{3}\right)\)

　　　　　\(=\left[\left(\sqrt{3}\right)^3+\sqrt{3}+1\right]\cdot\left[\left(-\sqrt{3}\right)^3+\left(-\sqrt{3}\right)+1\right]\)

　　　　　\(=\left(10+\sqrt{3}\right)\left(10-\sqrt{3}\right)\)

　　　　　\(=97.\)

第7題

題目：求 \(6^{99}+7^{99}+8^{99}\) 除以 \(343\) 的餘數？

解答：

\(343=7^3\)

\(6^{99}=\left(7-1\right)^{99}=C^{99}_0\left(-1\right)^{99}+C^{99}_1\left(-1\right)^{98}7+C^{99}_2\left(-1\right)^{97}7^2+7^3 m_1\)，其中 \(m_1\) 為整數。

\(7^{99}=7^3\times7^{96}.\)

\(8^{99}=\left(7+1\right)^{99}=C^{99}_0+C^{99}_1 7+C^{99}_27^2+7^3 m_2\)，其中 \(m_2\) 為整數。

因此，\(6^{99}+7^{99}+8^{99}=2C^{99}_1 7 + 7^{3}\left(m_1+m_2+7^{96}\right)=1386+7^{3}\left(m_1+m_2+7^{96}\right).\)

故，所求即為 \(1386\) 除以 \(343\) 之餘數，為 \(14.\)

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-23 05:02 PM 發表
再度向各位請教第五題
另外
第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?
第17題的第四小題,我用偷吃步,把這個四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0, ...

第五題：

10 球扣掉要選取的四個號碼，則有六個號碼不被選取，

先將六個不被選取的球排成一列，再將四個有特別標記的球插空隙，

則有 \(C^7_4=35\) 種方法。

每一種直線排列的方法，由左至右，將 10 球分別寫上 0~9 號，

則有標記的號碼球，就是被選取的號碼。

所以，共有 35 種選取的方法。





第17題的第四小題，

引用:

四面體轉換成O(0,0,0),A'(0,0,4),B'(1,0,0),C'(0,3,0)
求OA'B'C'的內切球半徑簡單多了

後半段我把它寫完，

應該是指：利用內切球球心 \(Q(t,t,t)\,(t>0)\) 到平面 \(\displaystyle \frac{x}{1}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1\) 的距離為 \(t\)

求得較小的 \(t\) 值即為所求。

不然也可以如下，

設內切球球心為 \(Q\)，則可以利用四個小四面體體積和＝四面體 PABC的體積。

求得內切球半徑。






第八題

引用:

第八題真的只能利用與x-y+10=0垂直的直線切橢園,得到兩條平行直線,再求此組平行線的距離這種方法嗎?

我覺得這樣的作法就很快了，

不然硬要想一個另解的話，

如下，（雖然我覺得沒有比較快 ）

先將橢圓上的點設成動點 \(P\) （參數式），

再刻意找一條斜率是 \(-1\) 且與橢圓沒有交點直線例如 \(L:\, x+y+1000000=0\) 好了，

然後利用點到線的距離求 \(P\) 到 \(L\) 的最大與最小距離。（中間會用到疊合）

則最大與最小距離之差，即為所求。

（搞了半天，還是原本常用的方法比較直覺。＝＝）

引用:

原帖由 八神庵 於 2010-6-23 07:34 PM 發表
如果距離公式不加絕對值的話
是否為線右為正線左為負
所以(x+y)/根號2代表橢圓上的點與x+y=0的"有向"距離
此時的x=2+3cos(alpha),y=-1+4sin(alpha)為橢圓的參數式
因為橢圓為封閉曲線
因此有最大值與最小值
則最大值與最小值相減,就是這個橢圓的投影長了....
不知道這樣能不能用?

可以呀，哈，好一個有向距離，

這樣就不用像我上面舉的例子（L: x+y+1000000=0）硬要把橢圓根直線分開了。

引用:

原帖由 老王 於 2010-6-23 08:49 PM 發表
這個公式，大家都沒有背嗎??
已知斜率m的切線為
\( y=mx+\sqrt{m^2a^2+b^2} \)
\( y=mx-\sqrt{m^2a^2+b^2} \)

哈，有呀，不過八神庵要另解，

只好硬生一個另解出來。 :p

第 3 題：

\(f(x)=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(x^2-2\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(x^2-2\right)^2}\)

令 \(P(x,x^2), A(0,2), B(4,2)\)

　　

則 \(P\) 位在 \(y=x^2\) 拋物線上，

因為 \(\overline{PA}+\overline{PB}\geq\overline{AB}\)

所以，所求最小值即為 \(\overline{AB}=4.\)

第 15 題：

令 \(\alpha=6-x, \beta=2+x\Rightarrow \alpha+\beta=8\)

亦即，「若 \(f(\alpha)=0\)，則 \(f(8-\alpha)=0\)。」

故，\(f(x)=0\) 的 18 個根之和為 \(\frac{18}{2}\cdot8=72.\)