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99關西高中

引用:
原帖由 ayumi 於 2010-6-18 11:46 PM 發表
請問關西高中的第17題,四面體中兩歪斜線間的距離,能不能給個方向??
題目若平面ABC與平面BDC垂直,己知BC=6, AB=AC,∠BAC=∠BCD=90度,∠BDC=60度,則BC與AD(歪斜線)的距離為多少
坐標化,令 \(C(0,0,0)\)、\(B(6,0,0)\)、\(A(3,0,3)\)、\(D(0,2\sqrt{3},0)\)

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引用:
原帖由 diow 於 2010-8-22 12:24 AM 發表
平面上有一直徑 \(6\) 的半圓,\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點,\(A\) 為半圓上的中點,

在 \(\overline{AB}\)  和 \(\overline{AC}\) 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\),

使得 \(\overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2\),

直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點,求 \(QR=\)?
設坐標系,

令 \(A(0,3)\)、\(B(-3,0)\)、\(C(3,0)\),由分點公式可得 \(P(-1,2)\)、\(Q(2,1)\)

因此 \(\overleftrightarrow{PQ}:\,x+3y=5\) ,其交 \(x\) 軸於 \(R(5,0)\),

故,\(\overline{QR}=\sqrt{10}.\)

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引用:
原帖由 diow 於 2010-8-22 11:32 AM 發表
1. 一箱內有編號分別為 \(1\) 至 \(19\) 的十九個球,每次隨機取出一個球,紀錄其編號後放回箱內,以 \(P(n)\) 表示前 \(n\) 次取球的編號總和為偶數的機率。今存在常數 \(r\)、\(s\) 使得 \(P(10)=r+s P(9)\),則 \(2r-s=\) ______。
解答:

第十球為偶數的機率為 \(\displaystyle\frac{9}{19}\),第十球為奇數的機率為 \(\displaystyle\frac{10}{19}\),

前九球和為偶數的機率為 \(P(9)\),前九球和為奇數的機率為 \(1-P(9)\),

\(\displaystyle P(10)=\frac{9}{19}P(9)+\frac{10}{19}\left(1-P(9)\right)\)

  \(\displaystyle=\frac{10}{19}+\left(\frac{-1}{19}\right)P(9).\)

\(\displaystyle\Rightarrow r=\frac{10}{19},\, s=\frac{-1}{19}.\)

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如果把第 13 題的題目稍微修改一下,將 \(P,Q\) 改置於圓周上,也是不錯的考題:

修改版題目:平面上有一直徑 \(6\) 的半圓,\(B.C\)分別為半圓直徑的兩端點,\(A\) 為半圓上的中點,

在 \(AB\)弧  和 \(AC\)弧 上分別取一點 \(P\) 和 \(Q\),

使得 \(\overline{PA} : \overline{PB}   = \overline{QC}   :    \overline{QA} =1:2\),

直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 和直線 \(\overleftrightarrow{BC}\) 交於 \(R\) 點,求 \(\overline{QR}=\)?

解答:



如圖,依題意可得 \(\overline{PB}=\overline{QA}=2\overline{PA}=2\overline{QC}\),

因此 \(∠ POQ = 90^\circ\),可得 \(\overline{PQ}=3\sqrt{2}.\)

在 \(\triangle QCR\) 與 \(\triangle BPR\) 中,

因為 \(∠ R\) 相同且 \(∠ QCR=180^\circ-∠ QCO=∠ BPR\)

所以 \(\triangle QCR\) 相似於 \(\triangle BPR\),

且因為 \(\overline{PB}:\overline{QC}=2:1\),所以 \(\displaystyle \overline{CR}=\frac{\overline{PR}}{2}\),

令 \(\overline{QR}=x\),則 \(\displaystyle \overline{CR}=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}.\)

由圓的外冪性質,可得 \(\overline{QR}\times \overline{PR}=\overline{CR}\times \overline{BR}\),

\(\displaystyle \Rightarrow x\cdot\left(x+3\sqrt{2}\right)=\frac{x+3\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{x+3\sqrt{2}}{2}+6\right)\)

可解得 \(x=4+\sqrt{2}.\)

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第 6 題

\(\displaystyle \alpha=\sum_{k=0}^{1000}2^k C_k^{1000}=(1+2)^{1000}\)

\(\log \alpha = 1000 \log 3\approx 1000\times 0.4771 = 477.1 = 477 + 0.1\)

且因為 \(\log 1<0.1< \log 2\),所以 \(\alpha\) 的最高位數字為 \(1\)

\(3^{1000} = (3^2)^{500} = (10-1)^{500} \equiv (-1)^{500} \equiv 1 \pmod{10}\)

\(\Rightarrow \alpha\) 的個位數字為 \(1\)

因此 \(z=1-i\),

在複數平面上,\(\omega\) 所表示的是「以 \(-2+3i\) 為圓心,\(1\) 為半徑的圓周上的動點」

因此 \(\left|z-\omega\right|\) 的最小值為 \(\sqrt{\left(1-\left(-2\right)\right)^2+\left(\left(-1\right)-3\right)^2}-1=4.\)

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第 10 題

\(\displaystyle f(x)=\sin 2x\cdot\tan x+\sin x\cdot\tan\frac{x}{2}\)

  \(\displaystyle =2\sin x\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cdot\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\)

  \(\displaystyle =2\sin^2 x + 2\cdot\sin^2\frac{x}{2}\)

  \(\displaystyle =2\left(1-\cos^2 x\right) + 1-\cos x\)

令 \(t=\cos x\),

因為 \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{5\pi}{12}\),

所以 \(\displaystyle \cos \frac{5\pi}{12}\leq \cos x\leq \cos\frac{\pi}{4}\Rightarrow \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\leq t\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle f(x)=2\left(1-t^2\right)+\left(1-t\right)=-2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}\)

畫出開口向下拋物線的圖形(圖略),可以發現頂點不在限制範圍內,

因此,

當 \(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt 2}\) 時,\(f(x)\) 有最小值為 \(\displaystyle \frac{4-\sqrt{2}}{2}.\)

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