第 1,3,4 題，見 thepiano 老師所解的 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3950#p3950



第 5 題

題目：設 \(\alpha,\beta,\gamma\) 為三個相異的複數，\(\omega\) 是 \(1\) 的立方根，若 \(\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma=0\)，試問在複數平面上表示 \(\alpha,\beta,\gamma\) 的三點成什麼圖形？


解答：

因為 \(1=-\omega-\omega^2\)

所以 \(\displaystyle\omega^2\left(\gamma-\alpha\right)= -\omega\left(\beta-\alpha\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow\left(\gamma-\alpha\right) = -\frac{1}{\omega}\left(\beta-\alpha\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle= \left(-\cos\left(-120^\circ\right) - i \sin\left(-120^\circ\right)\right)\left(\beta-\alpha\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle= \left(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ\right)\left(\beta-\alpha\right)\)


若將 \(\alpha, \beta, \gamma\) 都平移到以 \(\alpha\) 為新原點，

則平移後之 \(\beta\) 點坐標與 \(\gamma\) 點坐標，剛好是以新原點為圓心旋轉 \(60^\circ\) 之關係，

故， \(\alpha,\beta,\gamma\) 三點形成的圖形為正三角形。

jsMath 是透過 JavaScript 在執行的，

也就是不同的電腦、瀏覽器，

可能顯示效果與速度都會有些微差異，

你可以試試看猶如 https://math.pro/db/announcement.php?id=2 所寫，

安裝 TeX 字型，或許會有更好的顯示效果。

（雖然我在家裡沒有安裝 TeX 字型的電腦顯示效果也很好。）

或是改試用不同的瀏覽器看看，如 FireFox or Chrome.

第2題：設 \( \overline{AB}\) 的長度為 \(d\)，\(P\) 是以 \(\overline{AB}\) 為直徑的半圓上的一個動點，且 \( ∠PAB=\theta \)。令 \(\overline{PA}+\overline{PB}=x \)，

(1) 將 \( \sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 表示成 \(x\) 的函數。

(2) 求 \(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 的最小值，並求此時 \(\theta\) 和 \(x\) 的值。



解答：

\(\displaystyle x=d\cos\theta+d\sin\theta\Rightarrow \frac{x}{d}=\sin\theta+\cos\theta\leq\sqrt{2}\)

且由 \(\displaystyle x\geq d>0\) ，可得 \(\displaystyle 1\leq\frac{x}{d}\leq\sqrt{2}\Rightarrow1\leq\frac{x^2}{d^2}\leq2.\)



\(\sin^6\theta+\cos^6\theta=\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)^3-3\sin^2\theta\cos^2\theta\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\)

　　\(\displaystyle=1-3\sin^2\theta\cos^2\theta=1-3\left(\frac{\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2-1}{2}\right)^2=-\frac{3}{4}\left(\frac{x^2}{d^2}-1\right)^2+1\)



故，

當 \(x=d\) 時，\(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 有最大值為 \(1\)。

當 \(x=\sqrt{2}d\) 時，\(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 有最小值，

　　此時 \(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\)，且由 \(0^\circ\leq\theta\leq90^\circ\)，

　　可得 \(\theta=45^\circ\)，且 \(\sin^6 \theta+\cos^6 \theta \) 的最小值為 \(\displaystyle\sin^6 45^\circ+\cos^6 45^\circ=\frac{1}{4}\)。