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99嘉義高工

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題目:方程式 \(\sqrt[3]{x+7}−\sqrt[3]{x−7}=2\),則得實根中較大者為?

解答:

令 \(\displaystyle\alpha=\sqrt[3]{x+7}, \beta=\sqrt[3]{x-7}\),則

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\alpha-\beta&=&2\\\alpha^3-\beta^3&=&14\end{array}\right.\)

由 \(\displaystyle \alpha^3-\beta^3=\left(\alpha-\beta\right)^3+3\alpha\beta\left(\alpha-\beta\right)\)

可得 \(\alpha\cdot\beta =1\)

\(\displaystyle\Rightarrow \sqrt[3]{x+7}\cdot\sqrt[3]{x-7}=1\)

\(\Rightarrow x^2-49=1^3\)

\(x=\pm5\sqrt{2}.\)

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回復 11# icesnow1129 的帖子

h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=38565
https://math.pro/db/thread-456-1-1.html

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回復 25# satsuki931000 的帖子

其實可以直接跳到快一點,因為在 三角形ACD 中用正弦定理,就可以把 AB(=CD), AC, AD 分別換成 2R sin pi/n, 2R sin 2pi/n, 2R sin 3pi/n,再帶入就可以直接跳到 第一張照片的倒數第二行了。

另外提供一個另解。

附件

IMG_20181104_183146-min.jpg (807.81 KB)

2018-11-4 18:55

IMG_20181104_183146-min.jpg

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