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99彰化藝術高中

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\(\displaystyle 87^2+84^2+……+30^2\Rightarrow\mbox{ 利用 }\sum\left(k+3\right)^2=\sum k^2 + 6\sum k +\sum 9\)

不過,第 6 題,應該是用 iamcfg 上面寫的,再加上平方差公式。

第 16 題答案為第 P 格,其值與上方 bugmens 回覆作法的結果相同,peter579 應該是不小心看錯答案格了。^_^

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第 1 題:

\( a+\log_2 3 \),\( a+\log_4 3 \),\( a+\log_8 3 \)形成等比數列

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\log_4 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\log_8 3\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\frac{1}{2}\log_2 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\frac{1}{3}\log_2 3\right)\)

解得 \(\displaystyle a=-\frac{1}{4} \log_2 3\),

因此,數列為 \(\displaystyle\frac{3}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{12} \log_2 3\),

故,公比為 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)。

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填充第 2 題:

令 \(a_1=a, a_2=b\)

則 \(a_7=5a+8b=120\)

可知滿足 \(a,b\) 為正整數且 \(a<b\) 的數對 \((a,b)\) 只有一組解 \((8,10)\)

因此 \(a_8=8a+13b=194.\)



補充說明何以知道 \((a,b)\) 只有唯一一組解:

\(5a+8b=120\) 可先找得整數數對 \((a,b)\) 的通解 \((a,b)=(8t+24, -5t)\),其中 \(t\) 為整數,

再解得滿足條件 \(b>a>0\) 的整數 \(t=-2\),因此 \((a,b)=(8,10)\)

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