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99彰化藝術高中

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99彰化藝術高中

題目和答案如附件

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99彰化藝術高中.rar (34.45 KB)

2010-6-9 00:00, 下載次數: 3887

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1.設a為實數,使得\( a+log_2 3 \),\( a+log_4 3 \),\( a+log_8 3 \)形成等比數列,求此公比為?
[出處,94高中數學能力競賽 北區第二區 筆試二試題]


13.
\( \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!} \),若a除以13的餘數為b,求\( b^3+2b \)除以100的餘數為?
[提示]
a化簡後得23!/13,b=7

已知\( n!=1 \times 2 \times ... \times (n-1) \times n \);若\( \displaystyle \frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+...+\frac{11}{12!}=\frac{A}{12!} \),試求A除以10的餘數為何?
(建中通訊解題第62期)


16.p為\( 4x^2+9y^2=36 \)上的動點,若p在第一象限移動,過p點之切線交X軸於A點,交Y軸於B點,O為原點,求\( \overline{OA}+\overline{OB} \)最小值?
[解答]
令p(a,b),\( \displaystyle \frac{a^2}{9}+\frac{b^2}{4}=1 \)
切線\( \displaystyle \frac{a}{9}x+\frac{b}{4}y=1 \),\( \displaystyle \overline{OA}+\overline{OB}=\frac{9}{a}+\frac{4}{b} \)
廣義科西不等式
\( \displaystyle \Bigg[\; \Bigg(\; \frac{a^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\; \frac{b^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{9^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\ \frac{4^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\ ^3 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{9^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\; ^3+ \Bigg(\ \frac{4^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} \Bigg)\ ^3 \Bigg]\;
\ge \Bigg(\; 9^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}} \Bigg)\;^3 \)

17.θ為銳角,\( \displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{81}{cos^6 \theta}=625 \),求\( tan \theta \)?
(2005TRML個人賽)
這題可用廣義科西不等式解題
請見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075

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第4、6、8題請教一下。

請問第3題    9<K  是如何判讀出來的。謝謝。

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引用:
原帖由 peter579 於 2010-7-29 10:42 AM 發表
第4、6、8題請教一下。

請問第3題    9
第8題
假設I為內心,AI交BC於P,那麼
AI:IP=(7+9):8=2:1
所以DE=8*(2/3)=16/3

也可以參考一下關於這類三角形的幾個其他的性質
http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=2909&prev=2915&next=2425&l=f&fid=11
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 3# peter579 的帖子

4. 提供幾個方向  
    硬算  XD
    二項式定理    \( [(x+1)-1]^(10)-2[(x+1)-1]^5+3[(x+1)-1]^2-1 \)

6. \( f(90)+f(93)=90^2 \)
    \( f(87)+f(90)=87^2 \)
     ......
    \( f(30)+f(33)=30^2 \)
想辦法消嚕

[ 本帖最後由 iamcfg 於 2010-7-30 09:15 PM 編輯 ]

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6  
    f(93)-f(30)=90^2-(87^2+84^2+……+30^2) 接下來呢…

平方和,好像不行…。研究中…。

第一題是有同樣的題目,但找不到解。研究中。


第十六題  答案為(根號221)/4  ,好像沒有三次方根…有點看不懂。

[ 本帖最後由 peter579 於 2010-7-29 01:44 PM 編輯 ]

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回復 6# peter579 的帖子

\( f(90)+f(93)=90^2 \)   --------  1
\( f(87)+f(90)=87^2 \)   --------  2
\( f(84)+f(87)=84^2 \)   --------  3
\( f(81)+f(84)=81^2 \)   --------  4
.....

1-2+3-4........
try it

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\(\displaystyle 87^2+84^2+……+30^2\Rightarrow\mbox{ 利用 }\sum\left(k+3\right)^2=\sum k^2 + 6\sum k +\sum 9\)

不過,第 6 題,應該是用 iamcfg 上面寫的,再加上平方差公式。

第 16 題答案為第 P 格,其值與上方 bugmens 回覆作法的結果相同,peter579 應該是不小心看錯答案格了。^_^

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謝,第六題看比較懂了。

第一題,有人可以提示一下如何作呢。

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第 1 題:

\( a+\log_2 3 \),\( a+\log_4 3 \),\( a+\log_8 3 \)形成等比數列

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\log_4 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\log_8 3\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(a+\frac{1}{2}\log_2 3\right)^2=\left(a+\log_2 3\right)\cdot\left(a+\frac{1}{3}\log_2 3\right)\)

解得 \(\displaystyle a=-\frac{1}{4} \log_2 3\),

因此,數列為 \(\displaystyle\frac{3}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{4} \log_2 3,\,\frac{1}{12} \log_2 3\),

故,公比為 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)。

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