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99桃園縣新進教師高中聯招

99桃園縣新進教師高中聯招

題目和答案請見附件

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2010-6-5 19:23, 下載次數: 9910

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選擇題
5.設\( \{ a_n \} \)為一數列,\( a_1=a_2=1 \),\( a_3=a_4=2 \),對任意正整數n,滿足\( a_{n} \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+3}\not\equiv 1 \)且\( a_n \cdot a_{n+1} \cdot a_{n+2} \cdot a_{n+3} \cdot a_{n+4}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4} \),則\( a_1+a_2+...+a_{200}= \)?
(A)320 (B)360 (C)400 (D)440 (E)480
[提示]
五個一循環1,1,2,2,2


8.\( \sqrt{n}+\sqrt{m}=\sqrt{2527} \),\( n>m>0 \),則\( (n,m) \)有幾組正整數解。
(A)2 (B)3 (C)5 (D)7 (E)9

已知\( \sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \)且\( 0<x<y \),求滿足此式的整數數對\( (x,y) \)有幾組?
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 組。
(92台南縣國中聯招,初中數學競賽教程P32)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13842


非選擇題
三、照相機三角架的三隻腳架長度皆為75cm,三隻腳架和地面接觸點為A,B,C,已知\( \overline{AB}=50cm \),\( \overline{BC}=40cm \),\( \overline{CA}=30cm \),求三角架頂點至地面的最短距離為多少cm?

有一個三角架,三隻腳的長度都是150,三隻腳的著地點為A,B,C且\( \overline{AB}=70 \),\( \overline{BC}=80 \),\( \overline{CA}=90 \),則腳架頂端P離地面的高度為?
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA503.swf

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-6-12 11:51 PM 編輯 ]

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提供(D)選項的解法
令\( g(x)=(x+1)f(x)-1 \),且\( g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5)=0 \)
令\( g(x)=k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=(x+1)f(x)-1 \)
得\( \displaystyle f(x)=\frac{k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1}{x+1} \)
但\( f(x) \)為四次多項式,所以\( x+1 \)要能整除\( k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1 \)
\( k(-1-1)(-1-2)(-1-3)(-1-4)(-1-5)+1=0 \),\( \displaystyle k=\frac{1}{720} \)
最高係數應為\( \displaystyle \frac{1}{720} \)

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