發新話題
打印

99彰化女中(部分題目)

推到噗浪
推到臉書

回復 20# mandy 的帖子

關於第 8 題,先前寫此題也碰到此麻煩,

如 mandy 所說 首項為正的二次式恆"非負"的條件為判別式"非正"

而此題搞鬼的地方在於 \( f(x) \)  在二次式的解處可能沒有定義。

以下我們來研究一下判別式非負和值域的關係

原本分子分母都是二次(以下)式,但透過平移 \( g(x)=f(x)-c \) 可將分子改成一次以下,但如果分子是常數,就沒有什麼好看的,所以

設 \( f(x)=\frac{\alpha x+\beta}{ax^{2}+bx+c}, D_{y}=(by-\alpha)^{2}-4ay(cy-\beta)\) , 且 \( a\alpha \neq0 \),則有

(a) \( y\in f(\mathbb{R})\Rightarrow D_{y}\geq0 \).

證  若 \( y\neq0 \) 且  \( y\in f(\mathbb{R}) \),則 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \)  有實數解,因此 \( D_{y}\geq0 \) 。

若 \( y=0 \), \( D_{y}=\alpha^{2}\geq0\Rightarrow0 \)。因此 \( y\in f(\mathbb{R})\Rightarrow D_{y}\geq0 \) 。

(b) \( y\neq0,\, D_{y}>0\Rightarrow y\in f(\mathbb{R}) \)

證 若 \( D_{y}>0, y\neq 0 \),則 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \)  有兩相異實根。若 \( ax^{2}+bx+c=0 \),則 \( \alpha x+\beta=0 \)。

而 \( ax^{2}+bx+c=0 \) 和 \( \alpha x+\beta \)  至多一共根,

因此當 \( D_{y}>0 \)  時,必存在 \( x \) 使得 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 且 \( ax^{2}+bx+c\neq0\Rightarrow f(x)=y \) 。

(c) \( \deg\left(\gcd(ax^{2}+bx+c,\alpha x+\beta)\right)=0\Leftrightarrow f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \)

證 由 (1) (2) 知,我們只須檢驗 \( D_{y}=0 \)、\( y=0 \) ,在兩集合的差異 ( \( D_y>0 \) 且 \( y\neq0 \) 同時屬於兩集合)。

假設左式成立,則 \( ax^{2}+bx+c=0 \) 和 \( \alpha x+\beta=0 \)  無共根。

同 (b) 論述可得 \( y\neq0 \) 且 \( D_{y}\geq0 \) 則 \( y\in f(\mathbb{R}) \) 。

易驗 \( D_{0}=\alpha^{2}\geq0 \) 且 \( f(-\frac{\beta}{\alpha})=0 \) ,因此 \( f(\mathbb{R})=\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \) 。

假設左式不成立,則 \(ax^{2}+bx+c=0\)  和 \( \alpha x+\beta=0 \)  有共同根 \(-\frac{\beta}{\alpha}\) 。

若 \(D_{y}=0\), 且 \( f(x)=y \) ,注意方程式 \( (ax^{2}+bx+c)y=\alpha x+\beta \) 之解必為 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \)  (重根),

因此 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \),但 \( f \)  在 \( x=-\frac{\beta}{\alpha} \)  無定義,故不存在 \( x \) ,使得 \( f(x)=y \) ,

同理 \(y =0 \) 時,亦不存在 \( x \) 使得 \( f(x)=0 \)

因此 \( f(\mathbb{R})\neq\{y\in\mathbb{R}\mid D_{y}\geq0\} \) 。


---------------------------------我是分割線-------2013.09.02 修改下方之式子,之前有小瑕疵

回到原題,\( a=1 \) 顯然不合。而 \( a \neq 1 \),計算判別式可得 \( -2 \leq a \leq 0 \)

檢查分子是否與分母互質即 \( a^2+2a \) 是否為 0 (因式定理)

故其解為 \( -2<a<0 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2016-1-2 10:17 PM 編輯 ]
文不成,武不就

TOP

回復 32# arend 的帖子

請教第15 題,很久以前不會,現在還是不會,其中有何玄機?
文不成,武不就

TOP

回復 34# thepiano 的帖子

感謝

太神了!原來正整數的條件要這樣用...我的思路完全在另一條平行線...
文不成,武不就

TOP

回復 36# weiye 的帖子

漂亮到簡直犯規!
文不成,武不就

TOP

回復 38# johncai 的帖子

(前文刪帖???)
填7. 設 \( t =\frac{\overline{CD}}{\overline{DB}} \),\( \vec{BQ} = \alpha \vec{BC} + \beta \vec{BA} \)

由 CEA 共線,知 \( \alpha = \beta t \)...①

而 \( \vec{BC} = (1+t) \vec{BD} \),又 DQA 共線,而得 \( (1+t)\alpha + \beta =1 \)...②

①②聯立,解得 \( \alpha = \frac{t}{1+t+t^2}, \beta = \frac{1}{1+t+t^2} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-23 09:33 PM 編輯 ]
文不成,武不就

TOP

發新話題