引用:

原帖由 blue 於 2010-5-31 08:09 PM 發表
另外第一題的第三小題
(3) ω^n = 1 ， ω 為一虛根求 (2-ω)(2-ω^2)(2-ω^3)...(2-ω^(n-1))
這題如果說\(\omega=e^{2\pi i/n}\) 當然可以由根與係數關係容易得到。
但是一旦\(\omega=e^{2k\pi i/n}\)時, 就需要去討論 k 與 n 有沒有互質。
沒有互質的話, 他的根次冪並不會跑完所有1的n次方根. 版友有比較好的
做法嗎? 還是只能分開討論?

若 \(\omega\) 是 \(x^n-1=0\) 的本原虛根(primitive root)，則

\(\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{n-1}\right)=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1\)

再將 \(x=2\) 帶入即可.





如果不是本原虛根(primitive root, 亦即所有根的生成元)，似乎計算起來就沒那麼方便.

由 blue 上方回覆這篇，想到如下敘述，

令 \(\displaystyle\omega=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\)，

若 \(\displaystyle\left(k,n\right)=m\)，則

\(\displaystyle\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{n-1}\right)\)

\(\displaystyle=\left\{\left(x-\omega\right)\left(x-\omega^2\right)\cdots\left(x-\omega^{\frac{n}{m}-1}\right)\right\}^m\left(x-1\right)^{m-1}\)

\(\displaystyle=\left(1+x+x^2+\cdot+x^{\frac{n}{m}-1}\right)^m\left(x-1\right)^{m-1}.\)

\(\displaystyle=\frac{\left\{\left(x-1\right)\left(1+x+x^2+\cdot+x^{\frac{n}{m}-1}\right)\right\}^m}{x-1}.\)

\(\displaystyle=\frac{\left(x^{\frac{n}{m}}-1\right)^m}{x-1}.\)


以上想法如有疏漏，煩請不吝指教，感激。