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99東山高中

99東山高中

為蒐集大多數學校的考題供後人參考,

本試題題目與參考解答,經 ptt 的 demon 網友同意轉錄. 感謝. ^___^

因小弟重新排版修飾,如有打字錯誤,希望網友不吝告知,感謝.

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2010-5-18 16:25, 下載次數: 12583

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多喝水。

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第 6 題:求 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{100} \left(x+\frac{k}{100}\right)^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\) 之值.



把完全平方展開,然後利用

1. \(\displaystyle \sum^{100}_{k=0}kC^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}=\sum^{100}_{k=1}100x \cdot C^{99}_{k-1}x^{k-1}\left(1-x\right)^{100-k}=100x\times 1^{99}=100x\)

2. \(\displaystyle \sum^{100}_{k=0}k^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}=\sum^{100}_{k=1}\left(k\left(k-1\right)+k\right)C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\)

 \(\displaystyle=\sum^{100}_{k=1}k\left(k-1\right)C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}+\sum^{100}_{k=1}kC^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\)

 \(\displaystyle=\sum^{100}_{k=2}100\cdot99\cdot x^2 C^{98}_{k-2} x^{k-2}\left(1-x\right)^{100-k}+\sum^{100}_{k=1}100\cdot x C^{99}_{k-1} x^{k-1}\left(1-x\right)^{100-k}\)

 \(\displaystyle=100\cdot99 x^2\times 1^{98}+100x\times 1^{99}=9900x^2+100x\)

可得所求為 \(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{100}\cdot\left(100x\right)+\left(\frac{1}{100}\right)^2\cdot\left(9900x^2+100x\right)=\frac{399x^2+x}{100}.\)









註:如果對於中間的變化手法不熟悉,也可以參看看下面有相似手法的兩題:

1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-62-1-5.html

2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-401-1-5.html

3.
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322

多喝水。

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第 5 題:

設 \(z_1,\, z_2\) 為複數,滿足 \(\left|z_1\right|=\left|z_2\right|\),且 \(z_1-z_2=1-2i\),求 \(\displaystyle\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\cdot z_2\right|}\) 之值.


解答:

令 \(z_1=r\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right),\; z_2=r\left(\cos\beta+i\sin\beta\right)\),則

由 \(z_1-z_2=1-2i\),可得

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}r\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)&=&1\\r\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)&=&-2\end{array}\right.\)

將兩式相除,再用和差化積,可得 \(\displaystyle\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\) 之值,

再利用切表弦公式(也有人稱萬能公式),可得 \(\cos\left(\alpha+\beta\right)\) 與 \(\sin\left(\alpha+\beta\right)\) 之值,

故,可得 \(\displaystyle\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\cdot z_2\right|}=\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\right|\cdot\left| z_2\right|}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right) \) 之值.

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第 8 題

\(P\left(ab-cd \mbox{ 是偶數}\Bigg|a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)\)

\(\displaystyle=\frac{n\left(ab-cd \mbox{ 是偶數且 }a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)}{n\left(a,b,c,d\mbox{ 至少有一奇數}\right)}\)

\(\displaystyle=\frac{n\left(ab \mbox{ 是偶且 }cd\mbox{ 是偶}\right)+n\left(ab\mbox{ 是奇且 }cd\mbox{ 是奇}\right)-n\left(a,b,c,d \mbox{ 都是偶數}\right)}{n(a,b,c,d至少有一奇數)}\)

\(\displaystyle=\frac{ \left(6\cdot 6-3\cdot3\right)\left(6\cdot 6-3\cdot 3\right)+3\cdot3\cdot3\cdot3-3\cdot3\cdot3\cdot3}{6^4-3^4}\)

\(\displaystyle=\frac{3}{5}\)

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回復 10# 阿光 的帖子

令 \(\displaystyle a_n=\frac{\left[10^n\times\sqrt{2}\right]}{10^n}\),

其中分子的 \([\,]\) 表示高斯符號,

則 \(a_n\) 即為無條件捨去法將 \(\sqrt{2}\) 取至小數點以下第 \(n\) 位之值,

易得 \(<a_n>\) 為有理數數列,且 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}.\)





此題的解答並不唯一,

也可以利用牛頓法求根的方法,

令 \(f(x)=x^2-2\),則 \(f'(x)=2x\)

取 \(a_0=2\),且令 \(\displaystyle a_n=a_{n-1}-\frac{f(a_{n-1})}{f'(a_{n-1})}\,,\forall n\in N\)

則 \(<a_n>\) 為有理數數列,且由 \(y=f(x)\) 的函數圖形可得 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}.\)

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回復 12# casanova 的帖子

第 7 題:

(a)

因為 \(M,B,C\) 三點不共線,

所以 \(MB\)向量不平行\(MC\) 向量

因為 \(H\) 位在 \(MBC\)平面上,

所以,存在實數 \(p,q\) 使得

\(MH\mbox{向量}=p\cdot MB\mbox{向量}+q\cdot MC\mbox{向量}\)

\(\Rightarrow OH\mbox{向量}-OM\mbox{向量}=p\left(OB\mbox{向量}-OM\mbox{向量}\right)+q\left(OC\mbox{向量}-OM\mbox{向量}\right)\)

\(\Rightarrow OH\mbox{向量}=\left(1-p-q\right)OM\mbox{向量}+p\cdot OB\mbox{向量}+q\cdot OC\mbox{向量}\)

令 \(x=1-p-q,y=p,z=q\),

則 \(x+y+z=(1-p-q)+p+q=1.\)



(b)

因為 \(G\) 為 \(\triangle ABC\) 的重心,

所以 \(\displaystyle OG\mbox{向量}=\frac{1}{3} OA\mbox{向量}+\frac{1}{3} OB\mbox{向量}+\frac{1}{3} OC\mbox{向量}\)

因為 \(O,G,H\) 共線,所以令 \(OH\mbox{向量}=t\cdot OG\mbox{向量}\)

則 \(\displaystyle OH\mbox{向量}=t\cdot OG\mbox{向量}=\frac{t}{3} OA\mbox{向量}+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)

   \(\displaystyle =\frac{t}{3} (2\cdot OM\mbox{向量})+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)

由 (a),可得 \(\displaystyle \frac{2t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{t}{3}=1 \Rightarrow t=\frac{3}{4}\)

故,\(\displaystyle OH\mbox{向量}=\frac{t}{3} OA\mbox{向量}+\frac{t}{3} OB\mbox{向量}+\frac{t}{3} OC\mbox{向量}\)

      \(\displaystyle =\frac{1}{4} OA\mbox{向量}+\frac{1}{4} OB\mbox{向量}+\frac{1}{4} OC\mbox{向量}\)

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