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99桃園縣現職教師高中聯招

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回復 7# milkie1013 的帖子

(非選一)
首先 (a,b,c)=(1,1,1) 時, 5+14+21=40
故40,45,50,55,... (5k) 可被表示出來

考慮40+14=54, 得到(5k+4)在54之後可被表示

考慮40+21=61, 得到(5k+1)在61之後可被表示

考慮40+14+14=68, 得到(5k+3)在68之後可被表示

考慮40+14+14+14=82, 得到(5k+2)在82之後可被表示 (82也可以從40+21+21看出)

所以82之後都能被表示

回溯82之前第一個不能被表示的是77 (=5k+2)

所以本題答案是78

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回復 7# milkie1013 的帖子

(非選六):
設 ABCD四點共圓,其中AC與BD互相垂直於點E,圓心O在三角形CDE內部,如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等;並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。

若AB與CD平行,作一線同時垂直AB與CD,並交於兩點F與G,過線段FG的中點作直線平行AB並交圓於M,N,
則線段MN即為所求。

若不平行,延長兩線段之後交於F,作角AFD的分角線,將E對此分角線作對稱點E',連接FE'之直線交圓於M,N,
則線段MN即為所求。

以下將用" d(E,AB)表示點E到直線AB的距離" 說明:

題目欲找到P,使得 d(P,AB):d(P,CD)=CD:AB
由於AC垂直BD,故有d(E,AB):d(E,CD)=AB:CD    (ABE與DCE相似)
藉由鏡射,就有d(E',AB):d(E',CD)=CD:AB
再用相似形的想法,就知道直線FE'上的每一點Q  (F除外),皆有d(Q,AB):d(Q,CD)=CD:AB
故線段MN即為所求。
(更完整的,用相似形說明所有解皆落在線段MN上)

另外,解答中複選第8題答案有誤,應將A,D更正為 A

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回復 10# 老王 的帖子

平行的情形我寫錯了,應該如老王所說"過O作AB的平行線"  !

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