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99 屏北高中

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原帖由 mandy 於 2010-5-27 09:06 PM 發表
請問為什麼第9題的P(1)=5/6 ?  ..........一顆骰子有偶數顆為1點的機率不是0嗎?
丟一顆骰子,可能出現的點數有 \(1,2,3,4,5,6\)

如果出現的點數是 \(1\),則有一顆(奇數顆)\(1\) 點.

如果出現的點數是 \(2,3,4,5,6\),則有零顆(偶數顆)\(1\) 點.

所以,丟一顆骰子時,出現有偶數顆 \(1\) 點的機率是 \(\displaystyle\frac{5}{6}.\)

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請問計算證明題在單位圓上的極值如何求 ? 我用langrange multipler 做不出 .

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計算證明題:試求函數 \(f(x,y)=x+y^2\) 在單位圓 \(\displaystyle\left\{(x,y)\Big|x^2+y^2=1\right\}\) 上的極值,並找出發生極值的點。

解一、

\(\displaystyle f(x,y)=x+y^2=x+\left(1-x^2\right)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\leq\frac{5}{4}\)

因為 \(y^2=1-x^2\geq0\Rightarrow -1\leq x\leq1\),

所以,

當 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) 時,\(f(x,y)\) 有最大值為 \(\displaystyle\frac{5}{4}\),此時 \(\displaystyle(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{2})\)。

當 \(\displaystyle x=-1\) 時,\(f(x,y)\) 有最小值為 \(-1\),此時 \((x,y)=(-1,0)\)。




解二、

令 \((x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)\),其中 \(0 \leq\theta<2\pi\),

則 .......(後半段跟"解一"差不多,表示成 \(\cos\theta\) 的一元二次方程式,再配方求極值。)



解三、

令 \(g(x,y,k)=x+y^2+k\left(x^2+y^2-1\right)\),

解聯立方程式 \(\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial k}=0\),

可得 \(\displaystyle(x,y,k)=\left(-1,0,\frac{1}{2}\right),\left(1,0,\frac{-1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-1\right),\left(\frac{1}{2},\frac{-\sqrt{3}}{2},-1\right)\)

可得極值 \(f(-1,0)=-1\),\(f(1,0)=1\),\(\displaystyle f(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{2})=\frac{5}{4}\)。







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在請教第二題 : 一線段長15, 做成一正三角形......... ?

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國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選(清華原住民教育實驗專班)
第 2 題:有一線段長 \(15\),以此線段做一正三角形、一正方形和一圓,請問三者面積和的最小值為何.

解答:

設正三角形邊長為 \(a\)、正方形邊長為 \(b\)、圓的半徑為 \(c\),

則 \(3a+4b+2\pi c=15\),

題目所求三者的面積為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}a^2}{4}+b^2+\pi c^2\),

由科西不等式可得

  \(\displaystyle \left(\left(\frac{6}{\sqrt[4]{3}}\right)^2+\left(4\right)^2+\left(2\sqrt{\pi}\right)^2\right)\left(\left(\frac{\sqrt[4]{3} a}{2}\right)^2+\left(b\right)^2+\left(\sqrt{\pi} c\right)^2\right)\geq\left(3a+4b+2\pi c\right)^2\)

\(\displaystyle\Rightarrow \mbox{三者面積和}\geq\frac{225}{12\sqrt{3}+16+4\pi}\)

且當等號成立時,若且唯若 .....((這一段不寫了啦~~應該可以自己檢查等號是有可能成立的!感謝~:P))

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引用:
原帖由 weiye 於 2010-5-13 01:47 PM 發表


設 \( x,y,z \)為正實數,\( \displaystyle \left\{\ \matrix{9=x^2+y^2+xy \cr 16=y^2+z^2+yz \cr 25=z^2+x^2+zx }\right. \),求\( x+y+z= \)?

解答: ...
這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解...

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引用:
原帖由 Ellipse 於 2011-3-24 12:02 AM 發表
這題若出x,y,z為實數,解題過程就很麻煩了
且x+y+z的值會有四組解...
還蠻有趣的,不限定要"正實數"的話,

用 WolframAlpha 解出來 \(x+y+z=\pm\sqrt{25+12\sqrt{3}}\) 或 \(\pm\sqrt{25-12\sqrt{3}}\)

(也就是 \(x+y+z\) 的四個可能值剛好會是 \(t^4-50t^2+193=0\) 的四個根。)

WolframAlpha:這裡

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請問填充第4題如何求 ?

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國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選(清華原住民教育實驗專班)
第 4 題:若地球方程式為 \(x^2+y^2+z^2=100\),且北緯 \(\theta\) 所在的平面方程式為 \(x+2y-2z=6\),請問南緯 \(3\theta\) 所在的平面為何?


解答:

地球半徑 \(=10\),

  球心到北緯 \(\theta\) 所在平面的距離\(\displaystyle=10\sin\theta=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-6\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\Rightarrow \sin\theta=\frac{1}{5}\)

  \(\displaystyle\Rightarrow\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta=\frac{71}{125}\)

球心到南緯 \(3\theta\) 所在平面的距離 \(\displaystyle=10\sin3\theta=\frac{142}{25}\)

令所求平面方程式為 \(x+2y-2z=k\),則

                 \(\displaystyle\frac{142}{25}=\frac{\left|0+2\cdot0-2\cdot0-k\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}}\)

                 \(\displaystyle k=\pm\frac{426}{25}\)

所得兩平面方程式 \(\displaystyle x+2y-2z=\pm\frac{426}{25}\) 為南緯及北緯\(3\theta\) 所在的平面,

其中距離 \(x+2y-2z=6\) 比較遠的平面是 \(\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}\),

所以,南緯 \(3\theta\) 所在的平面方程式為\(\displaystyle x+2y-2z=-\frac{426}{25}\)。

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請問第六題:已知等腰三角形,若腰上的中線長為6。求三角形面積的最大值為何?

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