國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）

第 3 題：如下圖， \(\triangle ABC,\, \angle C=90^\circ,\, \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB},\, \angle ACD=\alpha,\, \angle DCE=\beta,\, \angle ECD=\gamma\)，

    　　　求 \(\displaystyle\frac{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}{\sin\beta}=?\)

解答：

\(\displaystyle\frac{\sin\alpha\cdot\sin\gamma}{\sin\beta}\)


\(\displaystyle=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{AC}\cdot \overline{BC}}\cdot\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{CD}\cdot \overline{AC}\sin\alpha\cdot\frac{1}{2}\overline{CE}\cdot \overline{BC}\sin\gamma}{\displaystyle\frac{1}{2}\overline{CD}\cdot \overline{CE}\sin\beta}\)


\(\displaystyle=\frac{1}{\triangle ABC\mbox{面積}}\cdot\frac{\triangle ACD\mbox{面積}\cdot \triangle BCE\mbox{面積}}{\triangle CDE\mbox{面積}}\)


\(\displaystyle=\frac{1}{\triangle ABC\mbox{面積}}\cdot\frac{\displaystyle\frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}\cdot \frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}}{\displaystyle\frac{1}{3}\triangle ABC\mbox{面積}}\)


\(\displaystyle=\frac{1}{3}\)

分別以 \(A, B\) 為中心，將 \(C\) 分別以逆時針、順時針旋轉 \(60^\circ\)，

設旋轉後的兩點分別為 \(D\) 與 \(F\)，

則 \(\overline{AF}\) 與 \(\overline{BD}\) 的交點即為 \(P\) 點。

感謝，馬上修正打字錯誤～ ^__^

填充第 10 題

把圓心畫出來，然後把圓補起來，

看起來就如下圖，



用畢氏定理可求得 \(\overline{O_1O_2}\)，

進而求得直角三角形 \(\triangle AO_1O_2\) 的高 \(\overline{AB}\)，

可得 \(\overline{AP}\) 之值，

再求的 \(\angle AO_1P, \angle AO_2P\) 之值，

再來應該問題不大了。^__^

國立屏北高級中學 99 學年度第一次教師甄選（清華原住民教育實驗專班）

第 1 題：求不等式 \(\displaystyle \log_3 x + \log_x 3<\frac{10}{3}\) 的解。

解答：

令 \(k=\log_3 x,\)

則 \(\displaystyle k+\frac{1}{k}<\frac{10}{3}\)

\(\displaystyle \Rightarrow k+\frac{1}{k}-\frac{10}{3}<0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{3k^2+3-10k}{3k}<0\)

\(\Rightarrow (3k^2+3-10k)(3k)<0\)

\(\Rightarrow (3k-1)(k-3)(3k)<0\)

\(\displaystyle \Rightarrow k<0\) 或 \(\displaystyle \frac{1}{3}<k<3\)

\(\Rightarrow \log_3 x<0\) 或 \(\displaystyle \frac{1}{3}<\log_3 x<3\)

\(\Rightarrow 0<x<1\) 或 \(\displaystyle \sqrt[3]{3}<x<27\)