引用:
原帖由 wunwun 於 2010-5-16 08:59 AM 發表
請問一下第九題要怎麼算呢??謝謝^^
第 9 題.
設 \(x \in \mathbb{R}\),定義高斯函數 \(\left[\ x \right]=\max \left\{m \in \mathbb{Z} \Big| m \leq x \right\}.\)
若 \(\left[ x+0.19 \right] +\left[ x+0.20 \right] +\left[ x+0.21 \right] +\cdots+\left[ x+0.91 \right] =546 \),則 \(\left[ 100x \right] =\) ?
解答:
先觀察一下,\(\left[ x+0.19 \right], \left[ x+0.20 \right], \left[ x+0.21 \right], \cdots, \left[ x+0.91 \right] \) 共 \(91-18=73\) 個數.
因為 \(0<\left(x+0.91\right)-\left(x+0.19\right)<1\)(即,最大數與最小數相差不到 \(1\)),
所以這 \(73\) 個取完高斯符號的整數至多只有兩種(某兩個連續的整數),
由於 \(546\div 73 = 7 \mbox{ 餘 } 35\),
因此 \(\left[x+0.19\right],\left[x+0.20\right], \cdots, \left[x+0.56\right]\) 這前 \(73-35=38\) 個整數的值都是 \(7\),
且 \(\left[x+0.57\right],\left[x+0.58\right], \cdots, \left[x+0.91\right]\) 這後 \(35\) 個整數的值都是 \(8.\)
故,\(x+0.56<8\) 且 \(x+0.57\geq 8\),
\(\Rightarrow 8-0.57\leq x<8-0.56\)
\(\Rightarrow 7.43\leq x<7.44\)
\(\Rightarrow 743\leq 100x<744\)
\(\Rightarrow \left[100x\right]=743.\)