引用:

原帖由 wunwun 於 2010-5-16 08:59 AM 發表
請問一下第九題要怎麼算呢??謝謝^^

第 9 題.

設 \(x \in \mathbb{R}\)，定義高斯函數 \(\left[\ x \right]=\max \left\{m \in \mathbb{Z}  \Big| m \leq x \right\}.\)

若 \(\left[ x+0.19 \right] +\left[ x+0.20 \right] +\left[ x+0.21 \right] +\cdots+\left[ x+0.91 \right] =546 \)，則 \(\left[ 100x \right] =\) ？


解答：

先觀察一下，\(\left[ x+0.19 \right], \left[ x+0.20 \right], \left[ x+0.21 \right], \cdots, \left[ x+0.91 \right] \) 共 \(91-18=73\) 個數.

因為 \(0<\left(x+0.91\right)-\left(x+0.19\right)<1\)（即，最大數與最小數相差不到 \(1\)），

所以這 \(73\) 個取完高斯符號的整數至多只有兩種（某兩個連續的整數），



由於 \(546\div 73 = 7 \mbox{ 餘 } 35\)，

因此 \(\left[x+0.19\right],\left[x+0.20\right], \cdots, \left[x+0.56\right]\) 這前 \(73-35=38\) 個整數的值都是 \(7\)，

且  \(\left[x+0.57\right],\left[x+0.58\right], \cdots, \left[x+0.91\right]\)  這後 \(35\) 個整數的值都是 \(8.\)



故，\(x+0.56<8\) 且 \(x+0.57\geq 8\)，

\(\Rightarrow 8-0.57\leq x<8-0.56\)

\(\Rightarrow 7.43\leq x<7.44\)

\(\Rightarrow 743\leq 100x<744\)

\(\Rightarrow \left[100x\right]=743.\)

填充第 5 題：

有七枚硬幣置於黑箱中的，其中有一枚兩面都是人頭，一枚兩面都是字，

其餘五枚一面是人頭一面是字；今將手伸入箱中抓出一枚硬幣，打開手掌

發現一面是人頭，試問該枚硬幣另一面也是人頭的機率是 ________。


解答：

我是直接思考，

而人頭面的情況有 7 種（且每一面被選到的機會都相等，都是\(\frac{1}{14}\)），

在上列的 7 種當中，另一面也是人頭的情況有 2 種。

所以，機率是 2/7.



或是，用條件機率來看

所求\(\displaystyle=\frac{出現人頭面且另一面也是人頭面的機率}{\mbox{出現人頭面的機率}}\frac{\displaystyle\frac{1}{7}\cdot\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{1}{7}\cdot\frac{2}{2}+\frac{1}{7}\cdot\frac{0}{2}+\frac{5}{7}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{2}{7}\)

引用:

原帖由 milkie1013 於 2010-5-19 08:28 PM 發表
而人頭面的情況有 7 種（且每一面被選到的機會都相等，都是 1/14 )

應該是6種耶?   因為有一個硬幣兩面都是字~

我不是說硬幣，我是說〝面〞，

七個硬幣共有 14 個〝面〞，每一〝面〞被選到的機會都相等，

都是 1/14，

這 14 〝面〞當中，有 7 〝面〞是人頭〝面〞。

多選題第 1 題：設 \(\displaystyle a=\log_3\pi, b=\log_3(\pi+1), c=\log_3(\pi+2)\)，則下列哪些選項是正確的？

(A)　\(a<b<c\)　(B)　\(\displaystyle c<\frac{3}{2}\)　(C)　\(a+c>2b\)　(D)　\(\displaystyle b^2>ac\)


解答：

（Ａ）\(\pi+2>\pi+1>\pi>1\)

　　　\(\displaystyle \Rightarrow \log_3(\pi+2)\log_3(\pi+1)>\log_3\pi>\log_3 1\)

　　　\(\Rightarrow c>b>a>0\)

（Ｂ）\(\displaystyle \frac{3}{2}=\log_3 \sqrt{27}>\log_3 \sqrt{\left(\pi+2\right)^2}=\log_3\left(\pi+2\right).\)

（Ｃ）因為 \(\displaystyle \left(\pi+1\right)^2>\pi\left(\pi+1\right)\)，所以 \(2b>a+c.\)

（Ｄ）由（Ｃ）可得 \(\displaystyle 2b>a+c\Rightarrow b>\frac{a+c}{2}\)

　　　因為 \(a,c\) 都為正數，由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{a+c}{2}\geq\sqrt{ac}\)

　　　故，\(\displaystyle b>\sqrt{ac}\Rightarrow b^2>ac.\)

多選第 4 題：（Ｃ）若 \(f''(c)=0\)，則點 \(\left(c,f(c\right))\) 為 \(y=f(x)\) 圖形的反曲點。

反例，我應該會舉 \(f(x)=x^4\)（圖形看起來比較直觀），

此函數的圖形一直都開口凹向上，因此沒有反曲點，但 \(f''(0)=0\)。

填充第 2 題：

已知實數 \(x\) 滿足 \(\log_3 x=1-\cos\theta\)，則 \(\left|x-1\right|+\left|x-9\right|\) 的值為？



解答：

\(-1 \leq \cos\theta\leq 1\)

\(\Rightarrow 0\leq 1-\cos\theta\leq2\)

\(\Rightarrow 1\leq 3^{1-\cos\theta}\leq 9\)

\(\Rightarrow 1\leq x\leq 9\)

\(\Rightarrow \left|x-1\right|+\left|x-9\right|=\left(x-1\right)+\left(9-x\right)=8\)

填充第 4 題：

因為 \(\displaystyle- \cos 2\theta = -\cos\frac{2\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=\cos\frac{5\pi}{7},\)


所以

\(\cos 3\theta - \cos 2\theta +\cos\theta\)

\(=\cos\theta+\cos3\theta+\cos5\theta\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\left(2\cos\theta\sin\theta+2\cos3\theta\sin\theta+2\cos5\theta\sin\theta\right)\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\left(\left(\sin2\theta-\sin0\right)+\left(\sin4\theta-\sin2\theta\right)+\left(\sin6\theta-\sin4\theta\right)\right)\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\cdot\sin6\theta\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{7}}\cdot\sin\frac{6\pi}{7}\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2}\)