我再貢獻幾題我有記下的題目，

並且把之前有人問的題目都放在一起，方便以後查詢：

※※　題號接續上面的pdf 檔，非原始題號　※※



第 4 題：（數據有改，方法相同）

若已知四面體四個面皆由全等的三角形構成 , 若此三角形三邊長為 \(17,16,10\)，求四面體體積 = ?

https://math.pro/db/thread-927-1-1.html


第 6 題：（數據有改，方法相同）

\(\displaystyle \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin x\right)dx=\)？

https://math.pro/db/thread-926-1-1.html




第 8 題：

給定雙曲線 \(\displaystyle \Gamma:\, \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1\) 與直線 \(L:\, 3x+4y=k\)，

若在 \(L\) 上存在唯一點 \(P\)，使得過 \(P\) 點對雙曲線恰可做兩條互相垂直的切線，求 \(P\) 點坐標。





第 9 題：

\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\)，設 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部的一點，

且 \(P\) 到三邊 \(\overline{BC}, \overline{AC}, \overline{AB}\) 之距離 \(\overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF}\) 的比為 \(1:2:3\)，

若 \(\overline{AP}^2 : \overline{BP}^2 : \overline{CP}^2 = 1:a:b\)，求數對 \((a,b)=\)？




第 10 題：已知 \(\overline{PA}, \overline{PB}, \overline{PC}\) 是圓 \(O\) 的三弦，\(∠ APB=\alpha, ∠ BPC=\beta\)，

試證： \(\overline{PB}\sin\left(\alpha+\beta\right)=\overline{PC}\sin\alpha+\overline{PA}\sin\beta.\)

第 11 題：

若 \(2^n=a!+b!+c!\)，其中 \(n,a,b,c\) 為正整數 , 且 \(a\geq b\) ，\(b\geq c\) 則 \((a,b,c,n)\) 有幾組解 ?

https://math.pro/db/thread-928-1-1.html



第 12 題：

在 \(2700\) 的正因數中 , 任取 \(3\) 個因數 \(a,b,c\)，則 \(a\) 是 \(b\) 的因數，\(b\) 是 \(c\) 的因數之機率 = ?

https://math.pro/db/thread-925-1-1.html

第 6 題：

延續 https://math.pro/db/thread-926-1-1.html 的結果，

可得

\(\displaystyle\int^{\pi}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=\int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx+\int^{\pi}_{\pi/2}\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=2 \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=-\pi\ln2.\)

第 7 題：

先觀察得 \(\overline{DF}//\overline{AB}\)，

然後由　\(\displaystyle \overline{DF} = \frac{2}{3}\overline{AB}\)

以及　\(\displaystyle \overline{DH}=\frac{1}{2}\overline{BG} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\overline{AB}\)

可得，\(\displaystyle \overline{DH}:\overline{DF} = \frac{\overline{AB}}{6}:\frac{2}{3}\overline{AB}=1:4\)

第 9 題：

\(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\)，設 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部的一點，

且 \(P\) 到三邊 \(\overline{BC}, \overline{AC}, \overline{AB}\) 之距離 \(\overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF}\) 的比為 \(1:2:3\)，

若 \(\overline{AP}^2 : \overline{BP}^2 : \overline{CP}^2 = 1:a:b\)，求數對 \((a,b)=\)？



以 \(P\) 為圓心，以 \(k,2k,3k\) 為半徑（其中 \(k\) 為任意正數）作同心圓，

在這三圓上分別取如上的三點 \(D, E, F\)，

自 \(D,E,F\) 分別做三圓的切線，

三切線分別交於 \(A,B,C\) 三點，

當 \(E,F\) 兩點固定不動，而 \(D\) 點稍微移動

可見 \(\overline{PA}\) 固定不變，然 \(\overline{PB},\, \overline{PC}\) 比列卻不固定。


所以.......... 是我原始題目有抄錯，或是哪裡有想錯嗎？





還是......題目有說 \(\triangle ABC\) 是正三角形？

如果有說是正三角形的話，則

不失一般性，可設 \(P\) 為圓點，

\(\overleftrightarrow{BC}: y=-1\)，

\(\overleftrightarrow{AC}:\) 斜率為 \(-\sqrt{3}\) 且距離原點為 \(2\) 的直線，取通過第一象限者，

\(\overleftrightarrow{AB}:\) 斜率為 \(\sqrt{3}\) 且距離原點為 \(3\) 的直線，取通過第二象限者，

找出三條直線方程式，解出交點 \(A,B, C\)，

即可得 \(\overline{PA}^2:\overline{PB}^2:\overline{PC}^2.\) 之值.

引用:

原帖由 fortheone 於 2010-5-21 07:40 PM 發表
我猜想，您圖形中如果D點稍微移動，其實三個邊長就跟著改變了，就不是同一個三角形，應該不能當作反例。

就是兩個不同的三角形，卻都滿足題意 \(\overline{PD}: \overline{PE}: \overline{PF}=1:2:3\)，

但兩個三角形的 \(PB^2: PC^2\) 非固定比例！

引用:

原帖由 fortheone 於 2010-5-21 08:15 PM 發表
可是題目還有邊長的限制呀~
不一樣的邊長就會得到不一樣的比例，
我是這樣想的^^

對耶，我完全漏看 \(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\) 這一句了，

真是眼拙！

那就 easy 了！！


因為將題目圖形放大或縮小，則所有長度的比例不便，

假設將圖形縮放為 \(\overline{PD}=1.\)

可設 \(P\) 為原點，

\(\overleftrightarrow{BC}: y=-1\)，

\(\overleftrightarrow{AC}:\) 斜率為 \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) 且距離原點為 \(2\) 的直線，取通過第一象限者，

\(\overleftrightarrow{AB}:\) 斜率為 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 且距離原點為 \(3\) 的直線，取通過第二象限者，

找出三條直線方程式，解出交點 \(A,B, C\)，

即可得 \(\overline{PA}^2:\overline{PB}^2:\overline{PC}^2.\) 之值.