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99台中一中(部分題目)

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99台中一中(部分題目)

煩請眾前輩高手欣賞

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99台中一中(部分題目).pdf (51.59 KB)

2010-5-5 14:38, 下載次數: 7207

考試時間有限,只能記下這些.

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我再貢獻幾題我有記下的題目,

並且把之前有人問的題目都放在一起,方便以後查詢:

※※ 題號接續上面的pdf 檔,非原始題號 ※※



第 4 題:(數據有改,方法相同)

若已知四面體四個面皆由全等的三角形構成 , 若此三角形三邊長為 \(17,16,10\),求四面體體積 = ?

https://math.pro/db/thread-927-1-1.html


第 6 題:(數據有改,方法相同)

\(\displaystyle \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin x\right)dx=\)?

https://math.pro/db/thread-926-1-1.html




第 8 題:

給定雙曲線 \(\displaystyle \Gamma:\, \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{20}=1\) 與直線 \(L:\, 3x+4y=k\),

若在 \(L\) 上存在唯一點 \(P\),使得過 \(P\) 點對雙曲線恰可做兩條互相垂直的切線,求 \(P\) 點坐標。





第 9 題:

\(\triangle ABC\) 中,\(\overline{AB}=1, \overline{BC}=\sqrt{3}, \overline{AC}=1\),設 \(P\) 為 \(\triangle ABC\) 內部的一點,

且 \(P\) 到三邊 \(\overline{BC}, \overline{AC}, \overline{AB}\) 之距離 \(\overline{PD}, \overline{PE}, \overline{PF}\) 的比為 \(1:2:3\),

若 \(\overline{AP}^2 : \overline{BP}^2 : \overline{CP}^2 = 1:a:b\),求數對 \((a,b)=\)?




第 10 題:已知 \(\overline{PA}, \overline{PB}, \overline{PC}\) 是圓 \(O\) 的三弦,\(∠ APB=\alpha, ∠ BPC=\beta\),

試證: \(\overline{PB}\sin\left(\alpha+\beta\right)=\overline{PC}\sin\alpha+\overline{PA}\sin\beta.\)




第 11 題:

若 \(2^n=a!+b!+c!\),其中 \(n,a,b,c\) 為正整數 , 且 \(a\geq b\) ,\(b\geq c\) 則 \((a,b,c,n)\) 有幾組解 ?

https://math.pro/db/thread-928-1-1.html



第 12 題:

在 \(2700\) 的正因數中 , 任取 \(3\) 個因數 \(a,b,c\),則 \(a\) 是 \(b\) 的因數,\(b\) 是 \(c\) 的因數之機率 = ?

https://math.pro/db/thread-925-1-1.html

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請問第5 ,6,7,8,9 題怎麼做 ?   感恩 !

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第 6 題:

延續 https://math.pro/db/thread-926-1-1.html 的結果,

可得

\(\displaystyle\int^{\pi}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=\int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx+\int^{\pi}_{\pi/2}\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=2 \int^{\pi/2}_0\ln\left(\sin\left(x\right)\right)dx\)

\(\displaystyle=-\pi\ln2.\)

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第 7 題:

先觀察得 \(\overline{DF}//\overline{AB}\),

然後由 \(\displaystyle \overline{DF} = \frac{2}{3}\overline{AB}\)

以及 \(\displaystyle \overline{DH}=\frac{1}{2}\overline{BG} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\overline{AB}\)

可得,\(\displaystyle \overline{DH}:\overline{DF} = \frac{\overline{AB}}{6}:\frac{2}{3}\overline{AB}=1:4\)

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2.\( x,y,z \in R \),若\( \Bigg\{\ \matrix{x+y+z=-3 \cr \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{3} \cr x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-24} \)求\( x^2+y^2+z^2= \)?
(94高中數學能力競賽高屏區筆試二)
要將第一式代到第三式就可以得到xyz


4.如圖四面體,\( \overline{AB}=\overline{AD}=10 \),\( \overline{BC}=\overline{AD}=17 \),\( \overline{AC}=\overline{BD}=3 \sqrt{29} \),求三角錐A-BCD的體積?


設邊長為a,b,c的三角形是銳角三角形。證明,存在一個四面體,其每組對稜都相等且分別等於a,b,c,並計算這個四面體的體積。
(高中數學競賽教程P263)


将边长分别为8、10、12的三角形的各边中点连接,形成四个三角形,它是一个四面体的展开图,求这个四面体的体积。
(奥数教程 高二卷 第9讲 截面折叠合展开)


△ABC為邊長4,6,6的等腰三角形,其三邊中點分別為D、E、F,沿著中點連線DE、EF、FD摺上來,使A、B、C三點重疊在P點成為一個四面體P-DEF。試問此四面體的頂點P到底面DEF的高度為?
(92台灣師範大學推薦甄選入學指定項目甄試試題)
因為這題是等腰三角形,不用長方體的方法其實也能解出來

102.6.25補充
將邊長10,10,12三角形紙張,沿著三邊中點連線摺起形成一個四面體,試問此四面體體積為   
(102木柵高工,https://math.pro/db/thread-1662-1-1.html)

110.8.23補充
有一個四面體\(ABCD\),其中\(\overline{AB}=\overline{CD}=5\),\(\overline{AC}=\overline{BD}=\sqrt{41}\),\(\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{34}\),求此四面體的體積。
(102南港高中代理,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1706&page=2#pid9043)

110.5.25補充
已知一個等腰三角形\(ABC\),其中\(\overline{AB}=\overline{AC}=10\),\(\overline{BC}=2\sqrt{5}\),今依序在\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上取各邊中點\(D\)、\(E\)、\(F\),分別將\(\Delta AEF\)、\(\Delta BDF\)、\(\Delta CDE\)沿著\(\overline{EF}\)、\(\overline{DF}\)、\(\overline{DE}\)折起來,使\(A\)、\(B\)、\(C\)三點重合在\(P\)點形成一個四面體\(P-DEF\),則此四面體\(P-DEF\)的體積為   
(110竹科實中,https://math.pro/db/thread-3508-1-1.html)

100.10.6補充
若\( x>0 \),則\( \sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{2x^2-16x+(log_2 x)^2-2xlog_2 x+2log_2 x+50} \)的最小值為?

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以下幾題僅將想法列出, 詳細做法可以自己試著做看看.
第八題 垂直切線軌跡為一定圓
第十題 托勒密定理.

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5
整理後可得 {x^2+x-2^2}^1/2 +{(x-7)^2+(x-(logx+1))^2}^1/2 的最小值
A(0,2)P(x,x)的距離加上P(x,x)Q(7, logx+1)的距離和之最小值
畫圖可知(備註:PQ線段必為水平線)
x=2時有最小值即(0,2)到(7,2)的距離=7
(ps:在這裡logx表示以2為底數,x為真數之對數值)

第十題
利用托勒密定理
PB*AC=PA*BC+PC*AB
同除2R,PB*(AC/2R)=PA*(BC/2R)+PC*(AB/2R)
正弦定理可知
PB*sin(a+b)=PA*sinb+PC*sina


[ 本帖最後由 azse0319 於 2010-5-7 09:01 AM 編輯 ]

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我還有印象一些比較基礎的題目,大家參考一下
PS:題號接續上面的討論,非原始題號

13.
7個人分成三組,人數分別為331,
7人要坐在12個空坐位上且同組的人一定要相鄰,
不同組的人一定不能相鄰,求有多少坐法(數據不確定)

14.
f(x)=x^3+ax^2+bx+c已知lim(f(x)/(x+1))=3,f(x)的圖形沒有極值,a的範圍

15.
給定空間中四點A(  )B(  )C(  )D(  )    (數據忘了)
PCD線段上之動點
求三角形ABP面積最小時P點的坐標

第16題
已知一地球儀的赤道長為??,
A在東經??度且B在東經??度北緯60度,
求AB在地球儀上的距離






[ 本帖最後由 azse0319 於 2010-5-10 03:18 PM 編輯 ]

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請問如何求第9題 ?

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