(-4,5) 對 x 軸的對稱點為 (-4,-5)
題目相當於要求 過 (-4,-5) 且與圓相切之直線
因為圓已經穿過 x 軸，所以只要求斜率較大的那一條切線

假設切線為 \( \displaystyle y-2=m(x-2)\pm\sqrt{5m^2+5}\)
(-4,-5) 帶入後化簡可得 \( \displaystyle 31m^2-84m+44=0\)
\( \displaystyle (31m-22)(m-2)=0\)

得到m=2

所以題目所求為：斜率=-2，且過 (-4,5) 的直線

先將原式化成 sin 的連乘
再代入公式 \( \displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\) 即可!



公式可利用恆等式  \( \displaystyle 1+x+x^2+...+x^{2n}=(x-w)(x-w^2)...(x-w^{2n})\)
推導出來
其中 \( \displaystyle w=\cos\frac{2\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\) 為 1 的 2n+1 次方根


過程摘要如下：

令 x = 1，可以得到

\( \displaystyle 2n+1=(1-\cos\frac{2\pi}{2n+1}-i\sin\frac{2\pi}{2n+1})(1-\cos\frac{4\pi}{2n+1}-i\sin\frac{4\pi}{2n+1})…(1-\cos\frac{4n\pi}{2n+1}-i\sin\frac{4n\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =(2\sin^2\frac{\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{\pi}{2n+1})(2\sin^2\frac{2\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1})…(2\sin^2\frac{2n\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{2n\pi}{2n+1}\cos\frac{2n\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =2^{2n}\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{2n\pi}{2n+1}(\frac{1}{i})^{2n}(\cos\frac{(1+2+…+2n)\pi}{2n+1}+i\sin\frac{(1+2+…+2n)\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =2^{2n}\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{2n\pi}{2n+1}\)

\( \displaystyle =2^{2n}(\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1})^2\)

最後再兩邊開根號就得到公式了!

竟然是用三倍角公式 : D

謝謝瑋岳老師!

ps. 最後的答案有打錯，應為 3/256