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99文華高中

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回復 5# weiye 的帖子

家裡網路掛點
結果現在才上線
感謝幫我解題

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引用:
原帖由 weiye 於 2010-5-5 09:51 PM 發表
1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解?(5分)
...
請問如果(1,1,360) (1,360,1) (360,1,1)視為相同  
              ( 2,2,90)(2, 90,2)(90,2,2)視為相同
則會有幾組正整數解?  謝謝
答案是32種?
想到腦袋打結@@

[ 本帖最後由 jisam 於 2010-5-24 02:04 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 jisam 於 2010-5-24 12:42 PM 發表


請問如果(1,1,360) (1,360,1) (360,1,1)視為相同  
              ( 2,2,90)(2, 90,2)(90,2,2)視為相同
則會有幾組正整數解?  謝謝
答案是32種?
想到腦袋打結@@ ...
不考慮 \(x,y,z\) 的順序性的話,我也是算 \(32\) 種。

\(xyz=360=2^3\times3^2\times5=\left(2\times3\right)^2\times2\times5\)

case i: \(x,y,z\) 三同,無。

case ii: \(x,y,z\) 兩同一異,有 \(C^3_1 \left(1+1\right)\left(1+1\right)=12\) 種.

case ii: \(x,y,z\) 三異,有 \(H^3_3 H^3_2 H^3_1-12 = 168\) 種.

所以,如果不考慮 \(x,y,z\) 的順序性,有 \(\displaystyle\frac{12}{3}+\frac{168}{3!}=4+28=32\) 種.

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謝謝weiye老師的指教^_^

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回復 1# bugmens 的帖子

請教一下填充第二題的詳解 很急這禮拜要去考

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-4-25 08:50 AM 編輯 ]

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回復 15# nanpolend 的帖子

(-4,5) 對 x 軸的對稱點為 (-4,-5)
題目相當於要求 過 (-4,-5) 且與圓相切之直線
因為圓已經穿過 x 軸,所以只要求斜率較大的那一條切線

假設切線為 \( \displaystyle y-2=m(x-2)\pm\sqrt{5m^2+5}\)
(-4,-5) 帶入後化簡可得 \( \displaystyle 31m^2-84m+44=0\)
\( \displaystyle (31m-22)(m-2)=0\)

得到m=2

所以題目所求為:斜率=-2,且過 (-4,5) 的直線

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回復 16# Joy091 的帖子

感溫
還有第四題三角解不出

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回復 17# nanpolend 的帖子

先將原式化成 sin 的連乘
再代入公式 \( \displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\) 即可!



公式可利用恆等式
  \( \displaystyle 1+x+x^2+...+x^{2n}=(x-w)(x-w^2)...(x-w^{2n})\)
推導出來

其中 \( \displaystyle w=\cos\frac{2\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\) 為 1 的 2n+1 次方根



過程摘要如下:


x = 1,可以得到


\( \displaystyle 2n+1=(1-\cos\frac{2\pi}{2n+1}-i\sin\frac{2\pi}{2n+1})(1-\cos\frac{4\pi}{2n+1}-i\sin\frac{4\pi}{2n+1})…(1-\cos\frac{4n\pi}{2n+1}-i\sin\frac{4n\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =(2\sin^2\frac{\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{\pi}{2n+1}\cos\frac{\pi}{2n+1})(2\sin^2\frac{2\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1})…(2\sin^2\frac{2n\pi}{2n+1}-2i\sin\frac{2n\pi}{2n+1}\cos\frac{2n\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =2^{2n}\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{2n\pi}{2n+1}(\frac{1}{i})^{2n}(\cos\frac{(1+2+…+2n)\pi}{2n+1}+i\sin\frac{(1+2+…+2n)\pi}{2n+1})\)

\( \displaystyle =2^{2n}\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{2n\pi}{2n+1}\)

\( \displaystyle =2^{2n}(\sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1})^2\)

最後再兩邊開根號就得到公式了!





[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-4-25 02:14 PM 編輯 ]

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我來一個另解好了,

填充第 4 題:\(\displaystyle\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 30^\circ \cos 40^\circ \cos 50^\circ \cos 60^\circ \cos 70^\circ \cos 80^\circ=?\)

解答:

\(\displaystyle\cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 30^\circ \cos 40^\circ \cos 50^\circ \cos 60^\circ \cos 70^\circ \cos 80^\circ\)

\(\displaystyle= \Bigg(\cos\left(60^\circ-10^\circ\right)\cos 10^\circ \cos\left(60^\circ+10^\circ\right)\Bigg)
\Bigg(\cos\left(60^\circ-20^\circ\right)\cos 20^\circ \cos\left(60^\circ+20^\circ\right)\Bigg)
\cos 30^\circ \cos 60^\circ\)

\(\displaystyle=\left(\frac{1}{4}\cos30^\circ\right)\left(\frac{1}{4}\cos60^\circ\right)\cos 30^\circ \cos 60^\circ\)

\(\displaystyle= \frac{3}{256}.\)


註:感謝 Joy091 提醒我的數字打錯!

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回復 19# weiye 的帖子

竟然是用三倍角公式 : D

謝謝瑋岳老師!

ps. 最後的答案有打錯,應為 3/256

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