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99文華高中

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99文華高中

試題及答案,於附件。

以下資料供以後的考生參考:

初試最低錄取分數 78分

100,90,90,85,80,80,80,78,78(同分)

其他
70~75分 12人
60~69分 14人
50~59分 18人
40~49分 18人
30~39分 21人
20~29分 15人
10~19分 7人
0~ 9分  1人
缺考   8人

共計 123 人

附件

99文華高中.rar (66.55 KB)

2010-5-3 10:21, 下載次數: 3191

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6.試求無窮級數\( \displaystyle 1-\frac{\pi^2}{2!}+\frac{\pi^4}{4!}-...+(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{(2n)!}+... \)之和
[提示]
泰勒展開式
\( \displaystyle cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}... \)

7.一個正四面體盒子內部邊長為8,要在四面體內部放入35顆一樣大小的球,求放入球的最大半徑
[類似問題]
稜長6的正四面體,裡面要放20個大小一樣的球,求球之最大半徑
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657

在一個邊長為1的正四面體中,放入大小相同的20顆球,試求球的最大半徑為?
(97中二中,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807)

撞球檯上有15個大小全等的紅色球,平放在桌上,使得它們正好擠在一個等邊三角框內,該框的內周長是876公分,則每個紅球的半徑是多少公分?
(A)\( \displaystyle \frac{73}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{146}{4+\sqrt{3}} \) (C)\( \displaystyle \frac{146}{2+\sqrt{3}} \) (D)\( \displaystyle \frac{146}{3+\sqrt{3}} \)
(94台南縣國中聯招)

11.設有一階梯共有100階,每次只能走2階或3階,若走到第n階的方法數為\( A_n \),其中n為正整數,求\( A_{15} \)
[解答]
\( A_n=A_{n-2}+A_{n-3} \)
\( \matrix{A_1 & A_2 & A_3 & A_4 & A_5 & A_6 & A_7 & A_8 & A_9 & A_{10} & A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} & A_{15} \cr 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 7 & 9 & 12 & 16 & 21 & 28} \)

計算題
1.求\( xyz=360 \)有幾組整數解?

類似題目
For how many three-element sets of positive integers {a,b,c} is it true that abc=2310?
(A)32 (B)36 (C)40 (D)43 (E)45
(1995AMC12)

假設a,b,c為相異正整數,則滿足abc=2310之集合S={a,b,c}有幾個?
(高中數學101 P4,95台中家商,97家齊女中)
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49736

101.4.29補充
正整數a,b,c滿足\( a \dot b \dot c=420 \),考慮集合\( S=\{\;a,b,c \}\; \),問集合S的所有可能有幾種。
(101台中一中,https://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-4-29 11:04 AM 編輯 ]

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7.一個正四面體盒子內部邊長為8,要在四面體內部放入35顆一樣大小的球,求放入球的最大半徑

這些放入的球會堆成三角垛,假設最底層是個數\(n\)的三角形,正四面體邊長為\(d\),則
\[
r=\frac{d}{2(n-1)+2\sqrt{6}}
\]

105.12.24版主補充
一個稜長(邊長)為1的正四面體內,放入20個全等的球,試求球的最大半徑   
(91北一女競試)

在一個邊長為1的正四面體中,放入大小相同的20顆球,試求球的最大半徑為   
(97中二中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2414)


利用SketchUp動態物件做成可調整球個數的三角垛,在功能表"視窗/元件選項"填入每個邊有幾個球,輸入後就會調整對應的三角垛。

附件

三角垛.png (217.12 KB)

2016-12-24 08:04

三角垛.png

三角垛元件選項.png (80.22 KB)

2016-12-24 08:05

三角垛元件選項.png

三角垛元件屬性.png (152.02 KB)

2016-12-24 08:10

三角垛元件屬性.png

三角垛SketchUp檔.zip (70.03 KB)

2016-12-24 10:12, 下載次數: 706

n=4各層球心座標.zip (38.22 KB)

2016-12-24 10:12, 下載次數: 768

91北一女競試.pdf (17.33 KB)

2016-12-24 10:55, 下載次數: 719

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請教填充題第十五題

引用:
原帖由 bugmens 於 2010-5-3 10:21 AM 發表
試題及答案,於附件。

以下資料供以後的考生參考:

初試最低錄取分數 78分

100,90,90,85,80,80,80,78,78(同分)

其他
70~75分 12人
60~69分 14人
50~59分 18人
40~49分 18人
30~39分 21人
20~29分 15人
10~19分 7人
0 ...
可以請教一下填充第15題如何下手?
另,有人知知道計算題題型嗎?

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填充第 15 題: \(p\) 為不小於 \(3\) 的質數,則位於雙曲線 \(x^2-y^2=p^2\) 上的格子點有多少個?

解答:

\(\left(x+y\right)\left(x-y\right)=p^2\)

若 \(x,y\) 都為整數,則 \(x+y\) 與 \(x-y\) 亦都為整數。


\(x+y\)\(1\) \(p^2\) \(-1\) \(-p^2\) \(p\) \(-p\)
\(x-y\) \(p^2\) \(1\) \(-p^2\) \(-1\) \(p\) \(-p\)


因為上表中的數字都是奇數,所以


\(\displaystyle x=\frac{\left(x+y\right)+\left(x-y\right)}{2}, y=\frac{\left(x+y\right)-\left(x-y\right)}{2}\) 皆為整數,


故,共有六組解。

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請問文華高中第1,10,12,14 題如何做 ?   感恩 !

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第 1 題:

\(\triangle ABC\) 中﹐已知 \(\overline{AB}= 4﹐\overline{BC}= 5﹐\overline{CA}= 6\),\(\triangle ABC\) 內部一點 \(P\) 到 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}\) 的距離分別為 \(h_1﹐h_2﹐h_3\),則 \(h_1^2 + h_2^2 + h_3^2\) 的最小值為___________。


解答:

三角形面積=\(\displaystyle \frac{1}{2}\times4\times h_1+\frac{1}{2}\times5\times h_2+\frac{1}{2}\times6\times h_4=\sqrt{\left(\frac{4+5+6}{2}\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-4\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-5\right)\left(\frac{4+5+6}{2}-6\right)}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 4h_1+5h_2+6h_3 = \frac{15\sqrt{7}}{2}\)

由柯西不等式,

    \(\left(4^2+5^2+6^2\right)\left(h_1^2+h_2^2+h_3^2\right)\geq \left(4h_1+5h_2+6h_3\right)^2\)

可得 \(h_1^2+h_2^2+h_3^2\) 的最小值為 \(\displaystyle \frac{\left(\frac{15\sqrt{7}}{2}\right)^2}{4^2+5^2+6^2}=\frac{225}{44}\).





第 10 題:

已知 \(x+2y+3z=14,x^2+y^2+z^2=196\),\(x,y,z\in \mathbb{R}\),求 \(z\) 之最大值為?

解答:

利用科西不等式

    \(\left(1^2+2^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geq\left(x+2y\right)^2\)

可得

    \(5\left(196-z^2\right)\geq\left(14-3z\right)^2\)

    \(\Rightarrow z^2-6z-56\leq0\)

    \(\Rightarrow 3-\sqrt{65}\leq z\leq3+\sqrt{65}\)

故,\(z\) 的最大值為 \(3+\sqrt{65}.\)




第 14 題:

設 \(f(x)=x^2+ax+b\),若\(f\left(f\left(x\right)\right)<f\left(x\right)\) 的解為 \(-2<x<-1\) 或 \(4<x<5\),則序對\(\left(a, b\right)=\)?

解答:

  \(f(f(x))-f(x)<0 \Leftrightarrow (x^2+a x+b)^2+a(x^2+a x+b)+b-(x^2+a x+b)<0\)

  \(\Leftrightarrow x^4+2ax^3+\left(a^2+a-1+2b\right)x^2+\left(a^2-a+2ab\right)x+\left(ab+b^2\right)<0\)

同義於

  \(\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)<0\)

  \(\Leftrightarrow x^4-6x^3-5x^2+42x+40<0\)

兩者因為首項係數相同,所以比較係數可得

  \(a=-3,\, b=-5.\)

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12.
利用AAA不相鄰-AAA不相鄰BB相鄰-AAA不相鄰CC相鄰+AAA不相鄰BB相鄰CC相鄰

14. 把她展開比較係數就得到囉


我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積

謝謝

[ 本帖最後由 dream10 於 2010-5-5 09:47 PM 編輯 ]

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引用:
原帖由 dream10 於 2010-5-5 09:44 PM 發表

我想要問計算第三題~~怎麼求平行六面體體積

謝謝 ...
剛剛去美夢成真論壇看,似乎有計算題的題目(http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427

將之抄錄如下:



1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解?(5分)




2.橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) 內接梯形 \(ABCD\),已知 \(A(5,0)\)、\(B(-5,0)\) 且 \(\overline{AB}//\overline{CD}\),

求梯形 \(ABCD\) 之最大面積為何?(10分)





3.空間中 \(\left\{\begin{array}{ccc}  0&\le& x+2y &\le& 4\\  -1&\le& x-3y+z &\le& 3\\ 1&\le& x+3y-2z&\le& 7 \\ \end{array}\right.\)

 所圍成的平行六面體體積是多少?(5分)

解答:

令 \(\left\{\begin{array}{ccc}u&=&x+2y\\ v&=&x-3y+z\\ w&=&x+3y-2z\end{array}\right.\)


且設 \(\displaystyle A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
   1 & 2 & 0  \\
   1 & { - 3} & 1  \\
   1 & 3 & -2  \\
\end{array}} \right]\),則 \(\left[\begin{array}{c}u\\v\\w\end{array}\right]=A \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\)



則 \(u,v,w\) 所圍的平行六面體體積=\(\left|det(A)\right|\times\) \(x,y,z\) 所圍的平行六面體體積

 \(\Leftrightarrow 4\times 4\times 6 = 9\times\mbox{所求體積}\)

 \(\displaystyle \Leftrightarrow \mbox{所求體積} = \frac{32}{3}.\)





註:感謝 dream10 於後方回覆幫我抓出眼花的數字錯誤!已修正!感謝! ^___^

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哇~~太厲害囉~~
原來這麼簡單唷~~~
謝謝唷~~感恩您

PS:大大您寫錯一個數字w=>1 ,3 , -2

[ 本帖最後由 dream10 於 2010-5-5 10:52 PM 編輯 ]

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