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99文華高中

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想請教第二題計算
算到面積是
\(\displaystyle \sqrt{(1+cosa)^3(1-cosa)}\) 想請教如何求得<= \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
引用:
原帖由 weiye 於 2010-5-5 09:51 PM 發表


剛剛去美夢成真論壇看,似乎有計算題的題目(http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1427

將之抄錄如下:



1.求 \(xyz=360\) 有幾組整數解?(5分)




2.橢圓 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\) ...

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回復 31# natureling 的帖子

令 \(p=1+\cos a, q=1-\cos a\),則上述提問相當於~~~

已知 \(p,q\) 為非負整數,且 \(p+q=2\),試求證 \(\displaystyle\sqrt{p^3q}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

證明提示:由算幾不等式,可得 \(\displaystyle \frac{\frac{p}{3}+\frac{p}{3}+\frac{p}{3}+q}{4}\geq\sqrt[4]{\frac{p}{3}\cdot \frac{p}{3}\cdot \frac{p}{3}\cdot q}\)

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嗯嗯...感恩...算出來了.....卡在要先左右同時4次方,,,再開平方....
引用:
原帖由 weiye 於 2012-4-13 04:31 PM 發表
令 \(p=1+\cos a, q=1-\cos a\),則上述提問相當於~~~

已知 \(p,q\) 為非負整數,且 \(p+q=2\),試求證 \(\displaystyle\sqrt{p^3q}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}.\)

證明提示:由算幾不等式,可得 ...

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引用:
原帖由 weiye 於 2010-5-24 03:29 PM 發表


不考慮 \(x,y,z\) 的順序性的話,我也是算 \(32\) 種。

\(xyz=360=2^3\times3^2\times5=\left(2\times3\right)^2\times2\times5\)

case i: \(x,y,z\) 三同,無。

case ii: \(x,y,z\) 兩同一異,有 ...
請問\( (x,y,z) \)兩同一異為何是 \( C^3_1 \left(1+1\right) \left(1+1\right) = 12 \)呢?

另,再請問填充第9題要怎麼做呢?

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引用:
原帖由 Joy091 於 2011-4-25 12:21 PM 發表
先將原式化成 sin 的連乘
再代入公式 \( \displaystyle \sin\frac{\pi}{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}...\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\) 即可!


公式可利用恆等式  \( \displaystyle 1+x+x^2+...+ ...
不好意思~我還是不知道該怎麼代入公式@@"  n該代多少?

若n=4時 可得到 sin20sin40sin60sin80 (度省略)

那還有剩下的sin10sin30sin50sin70 該怎麼辦??

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回復 35# dennisal2000 的帖子

#18 中, \( \sin \) 連乘積公式中的  \( 2n+1 \) 其實是不必要的

改成任意正整數 \( n \),都可用一樣的方法都可以推出

\( \sin \frac{\pi}{n} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} \cdots \sin \frac{(n-1)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} \)

另外 \( 2n+1 \) 是出現在 \( \cos \) 連乘積的公式,不然有了 \( \cos \frac{\pi}{2} =0 \) 就直接等於 0 無聊了
網頁方程式編輯 imatheq

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計算題
2. 橢圓 x²/25 + y²/16 = 1 內接梯形 ABCD,已知 A(5,0)、B(−5,0) 且 AB // CD,求梯形 ABCD 之最大面積為何?

這題如果用填充形式出題,或可如此推導:

橢圓 x²/25 + y²/16 = 1 是由圓 x²/25 + y²/25 = 1 依 y 軸方向壓縮 4/5 而成,這個比例也適用其內接圖形面積。

現考慮 x²/25 + y²/25 = 1 內接梯形 ABC'D' 之最大面積 -- 容易猜到即 BC'=C'D'=D'A 時,

則所求 = (√3/4)*25*3*(4/5) = 15√3


上述即最大面積的理由如下:

把 ABC'D' 以 AB 為軸作對稱圖形(得一六邊形),則當 BC'=C'D'=D'A 時有最大周長 (由 y=sinx 的凹性與 Jensen 不等式) 與(定周長時)最大的圍面積方式(形成正六邊形)。

依上述構想,若本題更一般地求四邊形 (不要求梯形) ABCD 之最大面積 (A,B 是長軸兩端點),則答案依然是 15√3。

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