老王
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小 發表於 2009-6-25 16:42 顯示全部帖子
97高中數學競賽台中區複賽一第二題
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https://math.pro/temp/hs_math_97.rar
用0,1,2組成字串,但相鄰的三個位置不得出現"0,1,2"(按此順序)。
令\( a_n \)為滿足上述條件且長度為n的字串個數。
試求出\( a_n \)為6的倍數的充要條件。
我的解法:
先推出遞迴式\( \displaystyle a_n=3a_{n-1}-a_{n-3} \)
以及初值\( a_1=3,a_2=9,a_3=26 \)
然後有恆心有毅力去算除以6的餘數
終於找到42個一循環
依序為
3,3,2,3, 0,4,3,3,5, 0,
3,4, 0,3,5,3, 0,1, 0,0,
5,3,3,4,3, 0,2,3,3,1,
0,3,2, 0,3,1,3, 0,5, 0,
0,1, 3,3,2,
也就是每42個裡面的第5,10,13,17,19,20,26,31,34,38,40,41個是6的倍數
想請問是否正確?
如果是的話,那麼答案該如何寫??
不懂這裡所謂的"充要條件"意指何?或者是有別的看法
尤其是各位台中區的老師
複賽這幾題我卡了好久好久
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity
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