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97高中數學競賽台中區複賽一第二題

97高中數學競賽台中區複賽一第二題

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用0,1,2組成字串,但相鄰的三個位置不得出現"0,1,2"(按此順序)。
令\( a_n \)為滿足上述條件且長度為n的字串個數。
試求出\( a_n \)為6的倍數的充要條件。

我的解法:
先推出遞迴式\( \displaystyle a_n=3a_{n-1}-a_{n-3} \)
以及初值\( a_1=3,a_2=9,a_3=26 \)
然後有恆心有毅力去算除以6的餘數
終於找到42個一循環
依序為
3,3,2,3,0,4,3,3,5,0,
3,4,0,3,5,3,0,1,0,0,
5,3,3,4,3,0,2,3,3,1,
0,3,2,0,3,1,3,0,5,0,
0,1,3,3,2,

也就是每42個裡面的第5,10,13,17,19,20,26,31,34,38,40,41個是6的倍數

想請問是否正確?
如果是的話,那麼答案該如何寫??
不懂這裡所謂的"充要條件"意指何?或者是有別的看法
尤其是各位台中區的老師
複賽這幾題我卡了好久好久
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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感謝瑋岳老師和bugmens提供的答案
我是沒有想到要分成2和3去討論
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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