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證\(<\sqrt[n]{n}>_{n=3}^\infty\) 是遞減的數列

以前有看過用算幾不等式證明: n ∈ N,數列  [1 + (1/n) ] ⁿ  遞增。現在看到這題,也來嘗試用算幾不等式。

原題欲證: n^(1/n) > (n+1)^[1/(n+1)]    (n ≥ 3,n ∈ N)

等同於 n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]   (兩側同予 n 次方)

把右式作為 (n+1) 個正數的幾何平均,容易想到取 n 個 (n+1) 與 1 個 1,但這樣設計的算數平均太大了。為了"放縮"得小些,嘗試"平均一點",把右式取幾何平均的 (n+1) 個正數設為:  (n-1) 個 (n+1) 與 2 個 √(n+1)。則根據算幾不等式:

n - 1 + 2/√(n+1) > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)]  (等號不會成立)

又當 n ≥ 3 2 /√(n+1) ≤ 1,n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)],原題亦得證。

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