以前有看過用算幾不等式證明: n ∈ N,數列 [1 + (1/n) ] ⁿ 遞增。現在看到這題,也來嘗試用算幾不等式。
原題欲證: n^(1/n) > (n+1)^[1/(n+1)] (n ≥ 3,n ∈ N)
等同於 n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)] (兩側同予 n 次方)
把右式作為 (n+1) 個正數的幾何平均,容易想到取 n 個 (n+1) 與 1 個 1,但這樣設計的算數平均太大了。為了"放縮"得小些,嘗試"平均一點",把右式取幾何平均的 (n+1) 個正數設為: (n-1) 個 (n+1) 與 2 個 √(n+1)。則根據算幾不等式:
n - 1 + 2/√(n+1) > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)] (等號不會成立)
又當 n ≥ 3 時,2 /√(n+1) ≤ 1,故 n > [ (n+1)ⁿ ] ^ [1/(n+1)],原題亦得證。