98高中數學能力競賽

這是 98 能力競賽複賽台北市筆試二的題目

題目：已知 \( \cos27^{\circ} \)  的值可以表示成下述兩種形式：
\( \cos27^{\circ}=r\times\sqrt{8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \)
\( \cos27^{\circ}=s\times(\sqrt{20+4\sqrt{5}}+\sqrt{10}-\sqrt{2}) \),

其中，\(r\)  與 \(s\)  為有理數，則數對 \( (r,s) \)  為 \( \underline{\qquad} \) 。

小建議：既然題目只有聊聊數行，有圖片(附件) 或 打字，呈現應該會更方便以後看帖子的人吧

解. 令 \( \theta =36^\circ \) 由 \( \sin3\theta = \sin 2\theta \) 及倍角公式可得 \( \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}\) 於是有

\( \cos54^{\circ} = \sin 36^\circ=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \),

\( \cos27^{\circ}=\sqrt{\frac{1+\cos54^{\circ}}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\Rightarrow r=\frac{1}{4} \) 。

\( \begin{aligned}\left(\sqrt{20+4\sqrt{5}}+\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)^{2} & =32+4\sqrt{5}+2\sqrt{20+4\sqrt{5}}(\sqrt{10}-\sqrt{2})-2\sqrt{20}\\
& =32+2\sqrt{160-32\sqrt{5}}\\
& =4(8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}),
\end{aligned} \)

所以 \( \sqrt{20+4\sqrt{5}}+\sqrt{10}-\sqrt{2}=2\sqrt{8+2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\Rightarrow s=\frac{r}{2}=\frac{1}{8} \) 。