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98高中數學能力競賽

98高中數學能力競賽

很多題目非常適合教甄出題,我將找得到出處的題目列出來,讓各位網友可以循著連結找到答案

已知在△ABC內一點分別與各頂點連線延長至對邊,將△ABC分成六塊區域,其中四塊區域面積值如下圖所示,求△ABC的整個面積。
(98高中數學能力競賽台南區)
(1985AIME第6題,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1985)


設n為正整數,如果恰有一正整數k滿足不等式\( \displaystyle \frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13} \),試求滿足上述條件的最大值?
(98高中數學能力競賽台南區)
http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2000_Taiwan_High_KaohsiungCity_01.pdf
(88高中數學能力競賽高雄區)
(1987AIME第8題,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1987)


直角三角形ABC中,\( ∠C=90^o \),P為△ABC內部一點,使得∠APB=∠APC=∠CPB,且\( \overline{PA}=8 \),\( \overline{PC}=6 \)(如下圖所示),試求\( \overline{PB} \)
(98高中數學能力競賽台南區)
(1987AIME第9題,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1987)

已知\( \big|x_k \big|<1 \),k=1,2,...,n且知\( \big| x_1 \big|+\big| x_2 \big|+...+\big| x_n \big|=97+\big| x_1+x_2+...+x_n \big| \),試確定n的最小值。
(98高中數學能力競賽台北市口試試題)
(1988AIME第4題,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1988)

已知x,y,z皆為正實數,且滿足方程組\( \matrix{
log_{10}(2000xy)=4+log_{10}x \cdot log_{10}y \cr
log_{10}(2yz)=1+log_{10}y \cdot log_{10}z \cr
log_{10}(zx)=log_{10}z \cdot log_{10}x }\),則x+y+z的值為何?
(98高中數學能力競賽高雄區)
(2000AIME,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2000)


令a,b,c為三個正實數且滿足\( \displaystyle a+\frac{1}{b}=4 \),\( \displaystyle b+\frac{1}{c}=1 \),\( \displaystyle c+\frac{1}{a}=\frac{7}{3} \)。求\( \sqrt{abc}= \)?
(2000AMC12第20題,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=2000)
(2000AIME第7題,http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2000)

試求方程式\( 2^a+2^b+2^c+2^d=10.625 \)的整數解(a,b,c,d),其中a>b>c>d。
(98高中數學能力競賽高雄區)
求滿足w>x>y>z條件的方程式\( \displaystyle 2^w+2^x+2^y+2^z=1288 \frac{1}{4} \)其所有整數解。
(建中通訊解題第45期)


設\( \displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{51}-\frac{1}{52}=\frac{q}{p} \),其中p,q為互質的正整數。試證:q可被79整除。
(98高中數學能力競賽第一區筆試一)
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1251


設M,A,T,H分別代表不同的阿拉伯數字。若MA與TA這兩個二位數的乘積滿足MA與TA這兩個二位數的乘積滿足MA乘TA等於HHH,則M+A+T+H =______。ans:21

已知在邊長為1的正方形內可以作出內接正三角形,那麼這些正三角形的面積之最大值為_____. ans:sec^2(15度)
thepiano解題,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7927

101.11.11補充
設a與b為實數且\( a>0 \),已知\( a+log a=8 \)且\( b+10^b=8 \),則\( a+b \)之值為?
(98高中數學能力競賽 台北市筆試二)

若\( \alpha \)是\( \displaystyle \frac{1}{3}x+3^x=8 \)的一個根,\( \beta \)是\( x+log_3(x+1)=24 \)的一個根,\( \alpha+\beta= \)?
(100高中數學能力競賽 臺北市筆試二試題,https://math.pro/db/thread-1349-1-2.html)

108.5.11補充
若實數\(x,y,z\)滿足\(\cases{x+y+z=4 \cr x^2+y^2+z^2=10 \cr x^3+y^3+z^3=22}\),則\(xyz=\)   
(98高中數學能力競賽 第四區(新竹高中)
(108板橋高中,https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)

在一正方形球枱中,一球從底邊中點\(A\)處出發,往右邊界\(\displaystyle \frac{3}{8}\)處碰撞後反射(如圖),假設在完全彈性碰撞下,球在第一次回到\(A\)點之前共反射   次。
(98高中數學能力競賽 第二區(新店高中))

在一正方形球枱中,一球從底邊中點\(A\)處出發,往右邊界\(\displaystyle \frac{3}{4}\)處碰撞後反射(如圖),假設在完全彈性碰撞下,球在第一次回到\(A\)點之前共反射   次。
(108板橋高中,https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)


設函數\(f\):\((0,1)\to R\)定義為
\(f(x)=\cases{\displaystyle x,x \notin Q \cr \frac{2p+1}{2q},x=\frac{p}{q},(p,q)=1,0<p<q,p,q \in N}\)
求\(f(x)\)在區間\( \displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{3}{7}\right) \)上的最大值?
(98高中數學能力競賽 第八區(高屏區))

設函數\(f\):\((0,1)\to R\)定義為\(f(x)=\cases{x,x \notin Q \cr \frac{p+1}{q},x=\frac{q}{p}}\),其中\(p,q \in N\)且\(p,q\)互質。則\(f(x)\)在區間\(\left(\frac{3}{7},\frac{9}{10} \right)\)上的最大值為   
(108板橋高中,https://math.pro/db/thread-3125-1-1.html)

110.8.15補充
設\(\Delta ABC\)為等腰直角三角形,依下列兩種方式可作出其內接正方形如圖(I)、(II)所示。已知圖(I)的正方形面積為625,則圖(II)的正方形面積為。

(1987AIME第15題,https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_15)

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設正實數數列\( \{ a_n \} \)滿足\( \sqrt{a_n a_{n-2}}-\sqrt{a_{n-1}a_{n-2}}=2a_{n-1} \)(n≧3),且\( a_1=a_2=1 \)試求\( a_n \)。
(98高中數學能力競賽高雄區,1993大陸高中數學聯賽)


將九塊大小不等的正方形拼成一塊長方形,如下圖所示:其中黑色正方形的邊長為1,而x與y代表所在正方形的邊長。
(1)求x與y的值  (2)求長方形的長與寬
(98高中數學能力競賽第一區筆試一)
設A與B是數線上兩個點,它們的座標分別為-1與4,如下圖所示。已知P是數線上的動點,而且滿足P到A點及P到B點的距離乘積小於6,即\( \overline{PA}× \overline{PB}<6 \),求動點P的所有可能範圍是。
(98高中數學能力競賽第一區筆試二)
以上兩題是97台北縣高中聯招考題

附件

97台北縣高中聯招補充資料.rar (42.84 KB)

2010-3-7 22:56, 下載次數: 11449

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