題目：

2. 空間中一四面體的四個頂點A(0,0,1),B(2,4,0),C(0,0,0),D(4,2,0), 平面E通過A點與BD中點且與BC有交點 , 若平面E將此四面體分成兩塊 , 其中一塊的體積為原四面體的 1/3 , 求E的方程式 ?


解答：

設 BD 的中點為 M，且 E 與 BC 交於 N 點，

因為由 A 點往 BCD 平面作高，則

可發現四面體 ABNM 與 四面體 ABCD 同高，

因此，

四面體 ABNM 與 四面體 ABCD的體積比等於

Δ BNM 與 Δ BCD 的面積比。

依題意，

情況一：

若 四面體 ABNM = (1/3) 四面體 ABCD的體積，

則，Δ BNM = (1/3) Δ BCD 的面積

　　(1/2)* BM*BN* sin∠NBM = (1/3)* (1/2) * BD* BC * sin∠CBD

　　且由 BM = (1/2)BD，可得 BN = (2/3) BC

　　由分點公式，可得 N 點坐標　⇒　由 A,N,M 三點坐標，可得 E 的方程式。


情況二：

若 四面體 ABNM = (2/3) 四面體 ABCD的體積，

則，Δ BNM = (2/3) Δ BCD 的面積

　　但顯然與 Δ BNM面積 ≦ Δ BCM 面積 = (1/2) Δ BCD 面積，矛盾。











另外，

由於台灣師大數學系網頁上 97, 98 高中數學能力競賽的網頁資料（含考題）似乎連結有問題，

所以，小弟把 bugmens 所提供的資料上傳到本站空間永久留存，以下附上兩者考題資料的連結：

　　97 高中數學能力競賽考題：https://math.pro/temp/hs_math_97.rar　or　http://140.122.140.4/exam/hs/97/

　　98 高中數學能力競賽考題：https://math.pro/temp/hs_math_98.rar　or　http://140.122.140.4/exam/hs/98/

題目：


1. 有各張分別標有1,2,3.....n 的一疊n張卡片 . 洗過卡片後 , 重複進行以下操作 : 若最上面一張卡片的標號是k , 則將前k張卡片的順序顛倒 ;
    例如 : 若 n=4 且卡片排成3124 , 則操作一次後的卡片將排列成2134 . 證明 : 經過有限次操作後 , 標號1的卡片會在最上面.



分析：

我比較喜歡稱最上面的牌為第一張牌，

先觀察一下：依洗牌規則，每次洗牌的時候，若第一張牌是 K，則伴隨洗牌規則而發生的事就是，第一張牌就會跟第 K 張牌交換。

　　　　　　至於中間其它牌的交換，因為不太重要，所以不管它中間牌怎麼換，至少第一張跟第 K 張會互換是必然的。


解答：

　　假設無論如何洗牌，第 1 張牌都不會是 1

　　亦即，在重複無窮次步驟之後，第一張牌一直都不會是 1，

　　則因為牌只有有限張，所以第一張牌的標號最後必定會是某些數字在重複出現

　　（且至少有兩個不是 1 的數字在重複，否則會有顯見的矛盾），

　　設第一張牌標號的重複數字之中最大者為 M (注意： M 必不等於 1)，

　　則當某次洗牌前，輪到第一張牌為 M 時，

　　在該次洗牌之後，

　　第 1 張的標號必小於 M，

　　且依洗牌規則，

　　因第 1 張卡片標號小於 M，所以洗牌所交換的卡片必無法換到第 M 張卡片，

　　故，第一張牌必無法再換回 M，此與 M 的重複出現性相矛盾。

　　故，在有限次的洗牌次數之內，第一張牌必定會變為 1.

題目：

3. 設 \(x,y,z\) 為實數且皆不為零，\(-90^\circ\leq\alpha\leq90^\circ\)，\(-90^\circ\leq\beta\leq90^\circ\)，

若 \(x^2+y^2+z=0\) 且 \(x^2\left(\cos\alpha+i \sin\alpha\right)+y^2\left(\cos\beta+i \sin\beta\right)+iz=0\) , 求 \(\alpha+\beta =?\)




解答：

\(x^2\left(\cos\alpha+i \sin\alpha\right)+y^2\left(\cos\beta+i \sin\beta\right)+iz=0\)

\(\Rightarrow \left(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta\right) + i\left(x^2\sin\alpha+y^2\sin\beta+z\right)=0\)

因為 \(x,y,z,\cos\alpha,\sin\alpha,\cos\beta,\sin\beta\) 都是實數，所以

\(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta=0\)　且　\(x^2\sin\alpha+y^2\sin\beta+z=0\mbox{......（＊）}\)


（１）

因為 \(-90^\circ\leq\alpha\leq90^\circ\) 且 \(-90^\circ\leq\beta\leq90^\circ\)，

所以 \(\cos\alpha\geq0\) 且 \(\cos\beta\geq0\)

且由 \(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta=0\)，可得 \(x^2\cos\alpha=0\) 且 \(y^2\sin\beta=0\)

因為 \(x,y\) 都是非零實數，所以 \(\cos\alpha=0\) 且 \(\cos\beta=0.\)




（２）

由題目所給之 \(x^2+y^2+z=0\Rightarrow z=-x^2-y^2\) 帶入 （＊），

可得 \(x^2\left(1-\sin\alpha\right) + y^2\left(1-\sin\beta\right)=0\)，

因為  \(1-\sin\alpha\geq0\) 且 \(1-\sin\beta\geq0\)

所以，可得 \(x^2\left(1-\sin\alpha\right)=0\) 且 \(y^2\left(1-\sin\beta\right)=0\)

且因為 \(x,y\) 都是非零實數，所以 \(1-\sin\alpha=0\) 且 \(1-\sin\beta=0\)

可得 \(\sin\alpha=1\) 且 \(\sin\beta=1.\)




故，由上二者，可得 \(\alpha=\beta=90^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=180^\circ.\)

題目：

2.設 \(x,y,z\) 屬於實數 , 滿足 \(x^2+y^2+z^2=1\) , 求 \(xy+yz+zx\) 的最小值 = ?



解答：

由科西不等式，

\[\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\geq\left(xy+yz+zx\right)^2\]

可求得 \(xy+yz+zx\) 的範圍。



＊＊

.　　感謝老王老師提醒（詳見本討論串後方回覆），

　　利用科西找出來的 \(-1\) 只是下界，並非最小值（實際最小值為 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) ），

　　因為由科西不等式所得的下界部分的等號並不會成立。

　　^__^

　　以下如老王老師於本討論串後方之回覆，

　　可由 \(\displaystyle xy+yz+zx = \frac{1}{2}\left[\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]\geq\frac{1}{2}\left[0^2-1\right]=-\frac{1}{2}\)

　　得到 \(xy+yz+zx\) 的下界 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\)，

　　且空間中存在同時滿足 \(x+y+z=0\) （通過原點的平面方程式）

　　　　　　　　　　　　與 \(x^2+y^2+z^2=1\)（以原點為球心、1 為半徑的球） 的共同交點 \(\left(x,y,z\right).\)

　　故，\(xy+yz+zx\) 的最小值為 \(\displaystyle -\frac{1}{2}.\)

題目：

1. 假設5根電線桿，其中兩根會漏電，以致於停在它們上面的小鳥會立刻被電昏而摔落地面。

　今有五隻小鳥各自獨立的隨機選擇其中一根電線桿逗留休息，試計算只有兩根電線桿上有小鳥的機率。



解答：


分母＝\(5^5.\)


分子＝不漏電的三根中選取兩根，搭配
　　　　　　case 1. 不漏電那兩根恰有5隻鳥且每根至少有一鳥
　　　　　　case 2. 不漏電那兩根恰有4隻鳥且每根至少有一鳥，漏電的那兩根共恰有1鳥
　　　　　　case 3. 不漏電那兩根恰有3隻鳥且每根至少有一鳥，漏電的那兩根共恰有2鳥
　　　　　　case 4. 不漏電那兩根恰有2隻鳥且每根至少有一鳥，漏電的那兩根共恰有3鳥
　　　的方法數

　　＝ \(C^3_2\left\{C^5_5\left(2^5-C^2_1\cdot 1^5\right)+C^5_4\left(2^4-C^2_1\cdot 1^5\right)\times2+C^5_3\left(2^3-C^2_1\cdot 1^5\right)\times2^2+C^5_2\left(2^2-C^2_1\cdot 1^5\right)\times2^3\right\}.\)