在平面上有點 \(\displaystyle A(1, \sqrt{3})  B(1, -\sqrt{3})\)，點 \(\displaystyle P\) 在線段 \(\displaystyle \overline{AB}\) 上，點 \(\displaystyle P'\) 在 \(\displaystyle y\) 軸的右側，

滿足 \(\displaystyle O,P,P'\) 三點共線且 \(\displaystyle \overline{OP}\times\overline{OP'}=4\)。

求證：\(\displaystyle P'\) 軌跡在某一個圓周上，並求其圓心.


證明：

設 \(\displaystyle \overleftrightarrow{OP}\) 的斜率為 \(\displaystyle m\)，則

\(\displaystyle P(1,m)\)，且 \(\displaystyle \overline{OP}=\sqrt{1+m^2}\Rightarrow \overline{OP'}=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}\)，

令 \(\displaystyle P'(x,y)\)，則 \(\displaystyle y=mx\)，帶入 \(\displaystyle \overline{OP'}=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}\Rightarrow x\sqrt{1+m^2}=\frac{4}{\sqrt{1+m^2}}\)，

可得 \(\displaystyle x(1+m^2)=4\)，由 \(\displaystyle y=mx\Rightarrow m=\frac{y}{x}\)，

可得 \(\displaystyle x\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)=4\)，化簡可得 \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+y^2=4\)，

故 \(\displaystyle P'\) 在圓 \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+y^2=4\) 的圓周上。

此圓的圓心坐標 \((2,0)\)，半徑為 \(2\)。

Note: 但在圓周上的卻不一定都是 \(P'\) 點喔。

圖形是圓的一部分，像是一個左右顛倒的Ｃ，而 \(A, B\) 兩點就是那開口的兩個端點。

如果不限定 \(P\) 要在 \(\overline{AB}\)，而是改成 \(P\) 在 \(\overleftrightarrow{AB}\) 上，

則圖形就是少了一點（原點）的圓，

當 \(P\) 的 \(y\) 座標趨近於 \(\pm\infty\) 時，\(P'\) 會趨近於原點。

引用:

原帖由 arend 於 2009-10-30 11:22 PM 發表
瑋岳老師你好:
我驗算過
A與B不在圓(x-2)^2+y^2=4上

又如何驗證"當 P 的 y 座標趨近於 ±∞ 時，P’ 會趨近於原點。"
可否指點迷津?
謝謝喔

\(\displaystyle\left(1-2\right)^2+\left(\pm\sqrt{3}\right)^2\neq 4\) ？？？


\(\overline{OP'}=\frac{4}{\overline{OP}}\)，當 \(\overline{OP}\to\infty\) 時，\(\overline{OP'}\to0\).