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請教組合一題

引用:
原帖由 arend 於 2009-10-11 11:08 PM 發表
若X-1+X-2+X-3+X-4+X-5=8 , 1<=X-i<=3
求正整數解(答案30)

有一點不明白, 為何X-1+X-2+X-3+X-4+X-5=8,1<=X-i<=3
的正整數解為C(7 , 3)=35

謝謝
若 \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=8 , 1\leq x_i\leq3\)

求正整數解有多少組?

答:\(H^5_3-C^5_1 = 35-5=30.\)

多喝水。

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把八個相同球放入五個相異的空箱子 \(x_1,x_2, \cdots, x_5\) 之中,

因為每個箱子至少有一顆球,所以每個箱子分完一顆球之後,還剩下 \(3\) 顆,

把剩下的 \(3\) 顆相同球有 \(H^5_3\) 種分法,

\(C^5_1\) 就是當剩下 3 顆同時分到同一個箱子的情況。

多喝水。

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引用:
原帖由 arend 於 2009-10-13 02:27 AM 發表
可否再請教瑋岳一個問題:

若0<=a<=4  , 0<=b<=8  , 0<=c<=6

求0<=a+b+c<=14 的非負整數解的個數

希望你再次不吝告知

謝謝
如果只看 \(\left(a,b,c\right)\) 共有 \(5\times9\times7=315\) 組。

當然當中有不少是滿足 \(a+b+c\geq15\),也就是要排除掉的情況。

以下讓我們來算看看有多少組要排除掉的,

令 \(x=4-a, y=8-b, z=6-c\),則

\(0\leq x\leq 4, 0\leq y\leq 8, 0\leq z\leq 6\),

且 \(x+y+z=(4-a)+(8-b)+(6-c)=18-(a+b+c)\),

也就是 \(0 \leq x+y+z\leq 3\)

所以要排除掉的非負整數解的組數為 \(H^4_3=20.\)

故,題目所求答案為 \(315-20=295.\)

多喝水。

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