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請教一題函數方程

這題如果限制f在多項式函數上,的確會有原PO所斷言之結論。

不妨令f(x)=akX^k+ak-1X^k-1+.....+1,ak不等於0

帶入 \( f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x) \),比較首項及次項係數會得到 ak=1,ak-1=0


由上可大概瞭解f似乎具有偶函數的雛形,


假設f(x)=(x-b1)(x-b2)...(x-bk),{bi,1<=i<=k}允許有複數


絕對值b1*b2*...*bk=1


bi,1<=i<=k為f(x)=0之根 iff 2bi^3+bi亦為f(x)=0之根,


考慮絕對值2bi^3+bi=絕對值bi*絕對值2bi^2+1,


若某1<=i<=k使得絕對值bi>1,則易見 絕對值2bi^2+1>1


導致 絕對值2bi^3+bi>絕對值bi,那麼2bi^3+bi不等於bi


重複上面理論可以得知bi,2bi^3+bi,......為一無窮多由bi衍生出來的f(x)=0之相異根 for some 1<=i<=k,矛盾。


故 對所有的1<=i<=k,皆有絕對值bi<=1,由上面一式絕對值b1*b2...*bk=1


得知 絕對值bi=1  for all i


考慮型如2bi^3+bi之根,吾人知絕對值2bi^2+1=1 ,根據高中數學的範疇告訴我們這樣的bi有跡可尋,


令 bi=cos@+isin@,(1+2cos2@)^2+4sin2@^2=1,則4+4cos2@=0,cos2@=-1,@=(n+1/2)拍


故 bi= i or -i with i^1=-1,for all i


由虛根成對的結論告訴我們 f(x)=(x^2+1)^n   with deg(f)=2n,而f顯然為一偶函數


再由f(2)+f(3)=125  得知 n=2,


所求為(x^2+1)^2




PS:至於一般性的f ,由於小弟腦袋簡單無法提供原PO所要的資訊 ,但根據小弟一些淺見,要求出
        一般性的f 單單由題目所提供的條件恐怕不足以解出,個人認為條件過少,再者,光是要試探f 是否有
       1-1,onto 的一般函數性質已非易事。

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