數列問題

設\( \{; a_n \};_{n \ge 1} \)為一數列，\( a_1=1 \)，\( a_2=4 \)且\( a_{n+1}=3a_n+a_{n-1} \)，\( n \ge 2 \)。
證明：有無限多個正整數n，使得\( a_n-1 \)和\( a_{n+1}-1 \)都能被89整除。
[sol]
可算出\( \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{13}-1}{2 \sqrt{13}}(\frac{3+\sqrt{13}}{2})^n+\frac{\sqrt{13}+1}{2 \sqrt{13}}(\frac{3-\sqrt{13}}{2})^n \)
但這樣有什麼用嗎？