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98玉井工商

6.
設\( f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) \),求\( f(f(x)) \)除以\( f(x) \)的餘式為?
相同問題
設\( f(x)=(x-1)(x-2)...(x-100) \),試求\( f(f(x)) \)除以\( f(x) \)之餘式?
(2003TRML個人賽)
假如TRML這題有先準備的話(100!),玉井工商這題可是看題目寫答案(5!)

11.
\( \displaystyle a_{n}=\sum^{n}_{k=1} \sqrt{k(k+1)} \),則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2}= \)?
類似題
試求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} (\ \frac{1}{n^2} \sum^{n}_{k=1} \sqrt{k(k+2)} )\ \)
(97中和高中)
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364(連結已失效)
第39樓thepiano給了答案,玉井工商這題也是一樣

112.4.24補充
設\(a_k=\sqrt{1+2+\ldots+k}\),試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n a_k\right)\)
(112台南女中,https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)

12.
設\( x,y \in R \),若\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \),求\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值為?
補上出處
設\( P(x,y) \)為\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \)上任一點,則\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值?
(高中數學101 P220)
\( x,y \)是實數,滿足\( x^2+(y-1)^2 \le 1 \),求\( \displaystyle \frac{x-y+1}{x+y+3} \)的極大值及極小值?
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=33485(連結已失效)

二、設n為自然數,試證\( 5^n \ge 1+4n \sqrt{5^{n-1}} \)
相同題目
證明:\( \forall n \in N \),\( 3^n \ge 1+2n \sqrt{3^{n-1}} \)
(98慈大附中,臺南慈中)
https://math.pro/db/thread-725-1-1.html

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15.
以O為原點之坐標平面,若\( OP=(3sin \alpha+cos \beta,sin \alpha+3cos \beta) \),\( 0\le \alpha \le \frac{\pi}{6} \),\( 0\le \beta \le \frac{\pi}{3} \),則\( \vec{OP} \)之一切P點所成區域的面積為?
[解答]
假設\( P=(x,y) \)
\( \Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ =\Bigg[\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg]\ \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\ \)
\( \Bigg[\ \matrix{x \cr y} \Bigg]\ \)的面積=\( \Bigg\vert\ \matrix{3 & 1 \cr 1 & 3} \Bigg\vert\ \)×\( \Bigg[\ \matrix{sin \alpha \cr cos \beta} \Bigg]\ \)的面積=\( 8 \cdot \frac{1}{4}=2 \)
又慢了一步,我對latex指令太不熟悉了

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9.
\(P\)為曲線\(y=x^2+2\)上之動點,\(A\)為直線\(y=x\)上之動點,且\(F(2,3)\)求\(\overline{FA}+\overline{AP}\)之最小值。
[解答]
對稱點為\( (3,2) \),P點為\( (x,x^2+2) \)
最短距離為\( \sqrt{(x-3)^2+x^4} \)
令\( f(x)=(x-3)^2+x^4 \),\( f'(x)=2(x-1)(2x^2+2x+3) \)
當\( x=1 \)時有最小值\( \sqrt{5} \)

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18.
\( a( \alpha),B( \beta),C( \gamma) \)為複數平面上三相異點,滿足\( |\; \alpha-\beta |\; =2 \),且\( \alpha-2\beta+\gamma=\sqrt{3}i (\beta-\gamma) \),求\( \overline{AC}= \)?
[解答]
\( \alpha-\beta=(1+\sqrt{3}i )( \beta-\gamma) \) , \( |\; \beta-\gamma |\;=1 \)
\( \alpha-\gamma=(2+\sqrt{3}i )(\beta-\gamma) \) , \( |\; \alpha-\gamma |\; =\sqrt{7} \)

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