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98玉井工商

填充第12題
設\(x,y \in R\),若\(x^2+(y-1)^2 \le 1\),求\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值為?
[解答]
題目的\( \displaystyle x^2+(y-1)^2 \leq 1 \)表示一個圓心在(0,1)半徑1的圓盤
這圓盤上的點都讓\( \displaystyle x+y+1以及x-y+3 \)的值為正
所求的式子如果改成
\( \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{x+y+1}{\sqrt{2}}}{\displaystyle\frac{x-y+3}{\sqrt{2}}} \)
就成了到這兩線的距離比
如附圖
這個距離比就變成 \( \displaystyle \tan{\angle{BAE}} \)
所以最大值發生在切線時
不難知道此時\( \displaystyle \angle{BAE}=75^o \)
故最大值為\( \displaystyle 2+\sqrt{3} \)

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2009-7-2 21:46

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名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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