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98中崙高中

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1.
1,3,5,7,9五個數字,\( s_1 \)=五個數字之和,\( s_2 \)=任兩數乘積之和,\( s_3 \)=任三數乘積之和,\( s_4 \)=任四數乘積之和,\( s_5 \)=五數之乘積。求\( s_1+s_2+s_3+s_4+s_5 \)。
[提示]
\( (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)=x^5+(五個數字的和)x^4+(任兩數乘積之和)x^3+(任三數乘積之和)x^2+(任四數乘積之和)x+(五數之乘積) \)

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第四題
f(x)為三次式,g(x)為四次式(題目都有給式子但是我忘記了),已知f(x)之三根為α、β、γ,求(1)g(α) g(β) g(γ) (2)1/g(α)+1/g(β)+1/g(γ)

我猜猜看\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \),\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \),是嗎?

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補上出處
設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \),\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \),且α、β、γ為\( f(x)=0 \)之三根。
(1)試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值。
(2)試求\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)} \)之值。
(高雄女中雙週一題,96師大附中)
[提示]
(1)\( y=-x+3 \),用\( x=3-y \)代入得\( y^3-11y^2+36y-35=0 \)
三根之積\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma)=35 \)

(2)\( \displaystyle z=\frac{1}{y}=\frac{1}{-x+3} \)
取倒數得\( \displaystyle 1-11 \frac{1}{y}+36 \frac{1}{y^2}-35 \frac{1}{y^3}=0 \)
\( 1-11z+36z^2-35z^3=0 \)
三根之和\( \displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\frac{36}{35} \)

設\(f(x)=x^3+2x^2-3x-1\),\(g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2\),且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之三根,試求\(g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)\)之值   
(100全國高中聯招,https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)

108.5.11補充
設\(f(x)=x^3-2x^2+3x-4\),\(g(x)=x^4-3x^3+5x^2-8x+1\),且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之三根,試求\(g(\alpha)\cdot g(\beta)\cdot g(\gamma)\)之值   
(108全國高中聯招,https://math.pro/db/thread-3132-1-1.html)

109.6.2補充
設\(f(x)=x^3+2x^2-3x-1\),\(g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+1\),且\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為\(f(x)=0\)之3根。試求:\(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}\)之值為   
(109中壢高中代理,https://math.pro/db/thread-3339-1-1.html)

附件

高雄女中雙週一題20070402.rar (5.8 KB)

2009-8-10 22:37, 下載次數: 4663

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