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98中崙高中

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第一題
\(1,3,5,7,9\) 五個數字,\(s_1=\)五個數字之和,\(s_2=\)任兩數乘積之和,\(s_3=\)任三數乘積之和,\(s_4=\)任四數乘積之和,\(s_5=\)五數之乘積。求 \(s_1+s_2+s_3+s_4+s_5\) 之值。

解答:

\(s_1+s_2+s_3+s_4+s_5 = \left(1+1\right)\left(1+3\right)\left(1+5\right)\left(1+7\right)\left(1+9\right)-1 = 3839.\)





第二題
平行四邊形ABCD,E在AB上,AE:EB=3:2;F在BC上,BF:FC=1:2。EC與DF交點為P, AP=a×AB+b×AD,求a、b?

解答:

把題目坐標化,設 \(\displaystyle A(0,0), B(1,0), D(0,1)\),則 \(\displaystyle C(1,1)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overleftrightarrow{EC}:\; 5x-2y=3\) 且 \(\displaystyle \overleftrightarrow{DF}:\; 2x+3y=3\)

解得交點 \(\displaystyle P\left(\frac{15}{19},\frac{9}{19}\right).\)

故,題目所求之 \(\displaystyle a=\frac{15}{19}, b=\frac{9}{19}.\)






第三題
已知 \(A, B\) 兩點(題目有給點座標但是我忘記了),求過這兩點且與圓 \(\displaystyle \left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=1\)相切之平面的方程式。

解答:

寫出 \(\displaystyle \overleftrightarrow{AB}\) 的對稱比例式→變成兩面式→設平面族

利用“球心到直線的距離=球半徑”,求出此平面的方程式。






第五題
\(\alpha, \beta\) 為實數, \(\omega\) 為\(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\) 之虛根,已知 \(\displaystyle \frac{3}{3-\omega}=\alpha+\beta\omega\),求 \(\alpha,\beta\) 。

解答:

\(\displaystyle \frac{3}{3-\omega}=\alpha+\beta\omega\)
\(\displaystyle \Rightarrow 3=\left(3-\omega\right)\left(\alpha+\beta\omega\right)\)
\(\displaystyle\qquad =3\alpha -\alpha\omega +3\beta\omega -\beta\omega^2\)
\(\displaystyle\qquad =3\alpha -\alpha\omega +3\beta\omega -\beta\left(-\omega-1\right)\)
\(\displaystyle\qquad =\left(3\alpha+\beta\right)+\left( -\alpha+4\beta\right)\omega\)

所以,\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 3\alpha  + \beta }\\{0 =  - \alpha+4\beta }\\ \end{array}} \right.\) \(\displaystyle \Rightarrow \alpha=\frac{12}{13}, \beta=\frac{3}{13}.\)



第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4

題目是否應該加上 \(A,B,C\) 是三角形的三內角?

否則顯然當 \(\displaystyle A=B=C=\frac{\pi}{2}\) 時,顯然題目有矛盾。

解答:

(1) 利用 https://math.pro/db/thread-229-1-1.html

可得,
\(\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}.\)

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第四題,

假設題目的 \(f(x),\; g(x)\) 如下方 bugmens 所述,則

題目給的四次式 \(g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2\) 被三次式 \(f(x)=x^3+2x^2-3x-1\) 除,所得之商式為 \(Q(x)\),餘式為 \(-x+3\),

則 \(g(x)=f(x)Q(x)+(-x+3)\) 且

\(\displaystyle g(\alpha)=f(\alpha)Q(\alpha)+(-\alpha+3)=3-\alpha,\;g(\beta)=f(\beta)Q(\beta)+(-\beta+3)=3-\beta,\;g(\gamma)=f(\gamma)Q(\gamma)+(-\gamma+3)=3-\gamma.\)

因此,

\(\displaystyle g(\alpha)\,g(\beta)\,g(\gamma)=(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)=f(3)=35,\)



\(\displaystyle \frac{1}{g(\alpha)}+\frac{1}{g(\beta)}+\frac{1}{g(\gamma)}=\frac{1}{3-\alpha}+\frac{1}{3-\beta}+\frac{1}{3-\gamma}\)

\(\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{(3-\alpha)(3-\beta)+(3-\beta)(3-\gamma)+(3-\gamma)(3-\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}\)

\(\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)}{(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)}\)

\(\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{27-6(-2)+(-3)}{35}\)

\(\displaystyle \qquad \qquad \qquad =\frac{36}{35}.\)

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