第一題
\(1,3,5,7,9\) 五個數字，\(s_1=\)五個數字之和，\(s_2=\)任兩數乘積之和，\(s_3=\)任三數乘積之和，\(s_4=\)任四數乘積之和，\(s_5=\)五數之乘積。求 \(s_1＋s_2＋s_3＋s_4＋s_5\) 之值。
解答：
\(s_1＋s_2＋s_3＋s_4＋s_5 = \left(1+1\right)\left(1+3\right)\left(1+5\right)\left(1+7\right)\left(1+9\right)-1 = 3839.\)
第二題
平行四邊形ABCD，E在AB上，AE：EB＝3：2；F在BC上，BF：FC＝1：2。EC與DF交點為P， AP＝a×AB＋b×AD，求a、b？
解答：
把題目坐標化，設 \(\displaystyle A(0,0), B(1,0), D(0,1)\)，則 \(\displaystyle C(1,1)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \overleftrightarrow{EC}:\; 5x-2y=3\) 且 \(\displaystyle \overleftrightarrow{DF}:\; 2x+3y=3\)
解得交點 \(\displaystyle P\left(\frac{15}{19},\frac{9}{19}\right).\)
故，題目所求之 \(\displaystyle a=\frac{15}{19}, b=\frac{9}{19}.\)
第三題
已知 \(A, B\) 兩點（題目有給點座標但是我忘記了），求過這兩點且與圓 \(\displaystyle \left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=1\)相切之平面的方程式。
解答：
寫出 \(\displaystyle \overleftrightarrow{AB}\) 的對稱比例式→變成兩面式→設平面族
利用“球心到直線的距離＝球半徑”，求出此平面的方程式。
第五題
\(\alpha, \beta\) 為實數， \(\omega\) 為\(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0\) 之虛根，已知 \(\displaystyle \frac{3}{3-\omega}=\alpha+\beta\omega\)，求 \(\alpha,\beta\) 。
解答：
\(\displaystyle \frac{3}{3-\omega}=\alpha+\beta\omega\)
\(\displaystyle \Rightarrow 3=\left(3-\omega\right)\left(\alpha+\beta\omega\right)\)
\(\displaystyle\qquad =3\alpha -\alpha\omega +3\beta\omega -\beta\omega^2\)
\(\displaystyle\qquad =3\alpha -\alpha\omega +3\beta\omega -\beta\left(-\omega-1\right)\)
\(\displaystyle\qquad =\left(3\alpha+\beta\right)+\left( -\alpha+4\beta\right)\omega\)
所以，\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 3\alpha + \beta }\\{0 = - \alpha+4\beta }\\ \end{array}} \right.\) \(\displaystyle \Rightarrow \alpha=\frac{12}{13}, \beta=\frac{3}{13}.\)
第六題
試證
(1)sinA+sinB+sinC<(3根號3)/2
(2)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<9/4
題目是否應該加上 \(A,B,C\) 是三角形的三內角？
否則顯然當 \(\displaystyle A=B=C=\frac{\pi}{2}\) 時，顯然題目有矛盾。
解答：
(1) 利用
https://math.pro/db/thread-229-1-1.html
可得，
\(\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\leq 3\sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}.\)
