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98家齊女中

設銳角三角形 \(ABC\) 中, \(D\) 為 \(BC\) 的中點,由 \(D\) 向 \(AB,AC\) 作垂線,垂足分別為 \(E,F\),

若 \(AE:EB=7:5\),\(AF:FC=5:3\),\(a,b,c\) 分別表示 \(∠A,∠B,∠C\) 的對邊長,則

(A) \(\displaystyle\cos B=\frac{5c}{6a}.\)

(B) \(\displaystyle\cos C=\frac{3b}{4a}.\)

(C) \(\cos A<0.\)

(D) 若 \(a = 4\),則 \(\triangle ABC\) 的面積為 \(23.\)

(E) \(c = 3\) 時,則 \(a = b^2\)。





解答:

(A) \(\displaystyle\cos B=\frac{BE}{BD}=\frac{\frac{5c}{12}}{\frac{a}{2}}

=\frac{5c}{6a}.\)

(B) \(\displaystyle\cos C=\frac{CF}{CD}=\frac{\frac{3b}{8}}{\frac{a}{2}}

=\frac{3b}{4a}\)

(C) 因為 \(\triangle ABC\) 為銳角三角形,所以 \(\cos A>0.\)

(D) 若 a = 4 時,令 \(x=AD\),則

  \(\displaystyle x^2-\left(\frac{7c}{12}\right)^2=2^2-\left(\frac{5c}{12}

\right)^2\)

  且 \(\displaystyle x^2-\left(\frac{5b}{8}\right)^2=2^2-\left(\frac{3c}{8}

\right)^2\) 

  且 \(b^2+c^2=2\left(x^2+2^2\right)\)

 由以上三式,可解得 \(b^2=8,c^2=12,x^2=6\)

 \(\Rightarrow AB=2\sqrt{3},AC=2\sqrt{2}\)

 再用畢氏定理求出 \(DE,DF\),則三角形 \(ABC\) 面積可得。


(E) 當 \(c = \sqrt{3}\) 時,

  利用同 (D) 選項的式子,可得 \(\displaystyle a=2,b=\sqrt{2},AD=\frac{\sqrt{6}}{2}.\)

多喝水。

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填充第 5 題

(1)

設 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 的最高公因式為 \(d(x)\),

則 \(d(x)\Big| f(x)-x\cdot g(x)\)

\(\Rightarrow d(x)\Big| 2x^4-x^3-7x^2+4x-4\)

\(\Rightarrow d(x)|(x-2)(x+2)(2x^2-x+1)\)

因為 \(d(x)\) 為一次式,所以 \(d(x)=x-2\) 或 \(d(x)=x+2\)

case i: 若 \(d(x)=x-2\),則 \(f(2)=g(2)=0\Rightarrow a=-6\)

case ii: 若 \(d(x)=x+2\),則 \(f(-2)=g(-2)=0\Rightarrow a=14\)

故,\(a=-6\) 或 \(a=14.\)


(2)

因為 \(y=f(x)-ax\) 的圖行恆在 \(y=g(x)-7x\) 的上方

所以 \(f(x)-ax>g(x)-7x\) (對任意實數 \(x\)) 恆成立

\(\Rightarrow 3x^4-2x^3-6x^2+6x-a>0\) (對任意實數 \(x\)) 恆成立

令 \(h(x)=3x^4-2x^3-6x^2+6x-a\)

由 \(h'(x)=0\),可解得 \(\displaystyle x=-1,\frac{1}{2},1\)

所以 \(h(x)\) 的最小值即為 \(h(-1), h(1)\) 之中的最小者

(腦海中有浮現~四次函數圖形像W的樣子嗎?有看到最小值會發生在哪裡齁!)

因此,\(h(1)>0\) 且 \(h(-1)>0\)

可得 \(a<-7\)

多喝水。

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証明第 4 題


(1) 先證 \(\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1\)

當 \(\displaystyle \frac{\pi}{2}>x>0\) 時,




如圖,畫一單位圓,

做 \(∠AOB=x\) 弧度,與圖上各點(詳細各點的做法應該不用說吧?==)

則 \(\overline{AB}=\sin x\),\(AD\)弧長\(=x\),\(\overline{CD}=\tan x\)

因為 三角形\(OAD\)面積<扇形\(OAD\)面積<三角形\(OCD\)面積

所以 \(\sin x<x<\tan x\)

且當 \(x>0\)時,\(\sin x>0\)

所以 \(\displaystyle \sin x<x<\tan x\)

\(\displaystyle \Rightarrow \sin x<x<\frac{\sin x}{\cos x}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \cos x<\frac{\sin x}{x}<1\)

又因為 \(\lim_{x\to0^+}\cos x = 1\) 且 \(\lim_{x\to0^+}1=1\)

所以由夾擠定理,可得 \(\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1\)



(2) 再證 \(\displaystyle \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x}=1\)

因為 \(\displaystyle \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0^-} \frac{-\sin (-x)}{-(-x)}=\lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-(t)}=1\)

(上面令 \(t=-x\),應該看得出來吧~:P)


由 (1)&(2),可得 \(\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1\)

多喝水。

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