証明第 4 題
(1) 先證 \(\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1\)
當 \(\displaystyle \frac{\pi}{2}>x>0\) 時,
如圖,畫一單位圓,
做 \(∠AOB=x\) 弧度,與圖上各點(詳細各點的做法應該不用說吧?==)
則 \(\overline{AB}=\sin x\),\(AD\)弧長\(=x\),\(\overline{CD}=\tan x\)
因為 三角形\(OAD\)面積<扇形\(OAD\)面積<三角形\(OCD\)面積
所以 \(\sin x<x<\tan x\)
且當 \(x>0\)時,\(\sin x>0\)
所以 \(\displaystyle \sin x<x<\tan x\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sin x<x<\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \cos x<\frac{\sin x}{x}<1\)
又因為 \(\lim_{x\to0^+}\cos x = 1\) 且 \(\lim_{x\to0^+}1=1\)
所以由夾擠定理,可得 \(\displaystyle \lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x}=1\)
(2) 再證 \(\displaystyle \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x}=1\)
因為 \(\displaystyle \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0^-} \frac{-\sin (-x)}{-(-x)}=\lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-(t)}=1\)
(上面令 \(t=-x\),應該看得出來吧~:P)
由 (1)&(2),可得 \(\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1\)