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回復 3# omfun 的帖子

4.
設有\(n\)個正立方體,邊長分別為\(1,2,\ldots,n\)公分,現在將他們由下而上堆疊起來,可隨機以任意大小順序堆疊,但是若連續堆疊兩個立方體,在上面的立方體邊長超過位在下面立方體邊長2公分,則此堆疊方式將會傾倒(例如:若由下而上是②①③④則可安全堆疊,但①④②③則否),問能安全堆疊的機率為何?

感謝 Pacers31 指正,下面是錯的...不小心誤會題意了,請往下找解答

解1:

若安全,1 的上方必為 2 或沒有。如果 2 在 1 上一層,那麼必是 3 在 2 上,或沒有東西在 2 上。

因此可類推至由上至下到 1 出現,必為連續正整數的型: \( k_{1},k_1-1,k_1-2,\ldots 1\);

接著不看這 k_1 個,我們又會有相同之結論,即 1 的下方將是連續正整數 \( k_{1}+k_{2},k_{1}+k_{2}-1,\ldots,k_{1}+1 \);

重覆推論得第一個大層 \( k_{1} \)個最小連續整,第一個大層 \( k_{2} \) 個剩於的最小連續整數…

第 j 層 \( k_{j} \) 個剩於最小的連續整數。其中 \( k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{j}=n \), \( k_{j} \) 為正整數。(總共分 j 大層)

所以共有 \( \sum_{j=1}^{n}H_{n-j}^{j}=\sum_{j=1}^{n}C_{n-j}^{n-1}=2^{n-1} \) 種不會傾倒的情形。

所求機率為 \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).

解2:
考慮以逐次插入的方式,依小到大的方式插入。
第一步,放一個 1。

第二步, 2 可選擇在 1 的上方或下方。

第三步,3 可放在 2 上方的位置,或最下。

而不能放在 1 上方的位置,因為往後愈來愈大,不可能在 3 和 1 中間放入可安全疊起的的方式。

第四步,同上, 4 僅能放在 3 上方的位置,或最下。

...

得安全的放法僅有 \( 2^{n-1} \)

因此所求機率為  \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-25 05:06 PM 編輯 ]
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回復 4# Jacobi 的帖子

第七題:
\(\Delta ABC\)為邊長是1的正三角形,\(P\)為三角形內部任意一點,過\(P\)作\(\overline{DE}\)平行\(\overline{BC}\),\(\overline{FG}\)平行\(\overline{AB}\),\(\overline{HI}\)平行\(\overline{AC}\);在空間坐標系上,取\(\overline{OQ}=\overline{PD}\),\(\overline{OR}=\overline{PE}\),\(\overline{OS}=\overline{FI}\),求\(\Delta QRS\)的周長最小值為何?
[解答]
令 \( \overline{PD}=x \), \( \overline{PE}=y \), \( \overline{FI}=z\),則 \( x+y+z=1 \).

\( \triangle QRS \) 周長 \(=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} \).

令 \( a=x+yi \), \( b=y+zi \), \( c=z+xi \),則周長 \(=|a|+|b|+|c| \).

由三等不等式得 \(=|a|+|b|+|c| \geq |a+b+c|=\sqrt{2} \).

等式成立為三向量平行,得 \( x=y=z=\frac{1}{3} \) 且 P 為重心。
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回復 13# Pacers31 的帖子

感謝指正,您的解讀是對...是我先前解讀錯誤

解 2. 的逐次插入法,仍然可以使用,但要從最大的開始放。

理由:如果堆疊完不會倒,那麼 1 的上方至多為 3 (若無,可解釋為  0)

所以把 1 抽出,不會倒,也是說 n 個安全的情形,必可由 n-1 之安全情形經插入最小者得到。

而且 n-1 時,堆疊順序不同,再插入新的正立方體,堆疊序必不相同。

先放 n,有 1 種;
再放 n-1,乘 2;
再放 n-2,乘 3;
再放 n-3,乘 3 (最上面,n-1 的下方,及n-2 的下方)
....
最後放 1,乘 3;

故安全的方法有 \( 2\cdot 3^{n-2} \),因此所求機率為  \( \frac{2\cdot 3^{n-2}}{n!} \)
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回復 16# mathca 的帖子

7. 根號內平方和有距離的味道,所以想到要用三角不等式

要怎麼令沒有一定,也可以在坐標平面上取四點

\( A(0,0), B(x,y), C(x+y,y+z), D(x+y+z,y+z+x) \)   ( \( D(1,1) \) )

則 \( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} \geq \overline{AD} = \sqrt{2} \)
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回復 18# mathca 的帖子

沒開題目,沒注意到題目原本就有 A,B,C,D。
總之,我的 A,B,C,D 不是原本的 A,B,C,D,就當作 A',B',C',D' 吧
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